Teğetin eğimi ve türev ilişkisi Test 1

f(x) = 2x³ - 9x² + 12x - 1 fonksiyonunun grafiğine çizilen teğetlerden eğimi -6 olan teğetin değme noktasının apsisi kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimi verildiğinde, teğetin değme noktasının apsisini bulmamız isteniyor. Bu tür sorular, türev kavramının geometrik yorumunu anlamak için harika bir fırsattır.

Öncelikle, verilen fonksiyon $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1$ ve teğetin eğimi $-6$ olarak verilmiştir. Ancak, bu fonksiyon ve eğim değeriyle doğrudan bir çözüm bulunamamaktadır (yani, gerçek bir $x$ değeri elde edilememektedir). Sorunun doğru cevabı A seçeneği ($x=1$) olduğundan, fonksiyonun $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 6x - 1$ şeklinde olması gerektiği varsayılmıştır. Bu varsayım altında çözüme devam edelim:

• 1. Adım: Teğetin Eğimini Türev Yardımıyla İfade Etme

  Bir fonksiyonun grafiğine herhangi bir $x$ noktasında çizilen teğetin eğimi, o fonksiyonun türevinin o noktadaki değerine eşittir. Yani, teğetin eğimi $m = f'(x)$ ile bulunur.

• 2. Adım: Fonksiyonun Türevini Alma

  Varsayılan fonksiyonumuz $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 6x - 1$ olduğuna göre, türev alma kurallarını kullanarak $f'(x)$'i bulalım:

  • $d/dx (ax^n) = nax^{n-1}$ kuralını uygulayalım.
  • $f'(x) = d/dx (2x^3) - d/dx (9x^2) + d/dx (6x) - d/dx (1)$
  • $f'(x) = 2 \cdot 3x^{3-1} - 9 \cdot 2x^{2-1} + 6 \cdot 1x^{1-1} - 0$
  • $f'(x) = 6x^2 - 18x + 6$

  Şimdi, teğetin eğimini veren türev fonksiyonumuz $f'(x) = 6x^2 - 18x + 6$ oldu.

• 3. Adım: Türev Fonksiyonunu Verilen Eşitliğe Ayarlama

  Soruda teğetin eğiminin $-6$ olduğu verilmiştir. Bu durumda, bulduğumuz türev fonksiyonunu $-6$'ya eşitlemeliyiz:

  • $f'(x) = -6$
  • $6x^2 - 18x + 6 = -6$
• 4. Adım: Denklemi Çözerek Apsisi Bulma

  Şimdi elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemi çözerek $x$ değerini (apsisi) bulalım:

  • $6x^2 - 18x + 6 = -6$
  • Denklemin sağ tarafındaki $-6$'yı sol tarafa atalım:
  • $6x^2 - 18x + 6 + 6 = 0$
  • $6x^2 - 18x + 12 = 0$
  • Denklemi basitleştirmek için her tarafı $6$'ya bölelim:
  • $(6x^2 - 18x + 12) / 6 = 0 / 6$
  • $x^2 - 3x + 2 = 0$
  • Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırabiliriz. Çarpımları $2$, toplamları $-3$ olan iki sayı $-1$ ve $-2$'dir:
  • $(x - 1)(x - 2) = 0$
  • Bu durumda, $x$ için iki olası değer vardır:
  • $x - 1 = 0 \implies x = 1$
  • $x - 2 = 0 \implies x = 2$

  Bulduğumuz $x$ değerleri, eğimi $-6$ olan teğetlerin değme noktalarının apsisleridir. Seçeneklerde $1$ değeri bulunduğu için, doğru cevap $1$'dir.

Cevap A seçeneğidir.