9. Sınıf Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Nedir? Test 2

ABC üçgeninde [DE] // [BC] olacak şekilde D ∈ [AB] ve E ∈ [AC] noktaları alınıyor. |AD| = 3 cm, |AE| = 4 cm, |EC| = 8 cm olduğuna göre, |AB| kaç cm'dir?

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, üçgenlerde benzerlik konusunu kullanarak bir geometri problemini adım adım çözeceğiz. Bu tür problemler, günlük hayatta harita okuma veya mimari çizimler gibi birçok alanda karşımıza çıkabilir. Hazırsanız başlayalım!

• Problemi Anlayalım:

  Bize bir ABC üçgeni verilmiş. Bu üçgenin içinde, [DE] doğru parçası [BC] kenarına paralel olacak şekilde çizilmiş. D noktası [AB] kenarı üzerinde, E noktası ise [AC] kenarı üzerindedir. Bazı kenar uzunlukları verilmiş:

  • $|AD| = 3$ cm
  • $|AE| = 4$ cm
  • $|EC| = 8$ cm

  Bizden istenen ise $|AB|$ kenarının uzunluğunu bulmak.

• Anahtar Kavram: Benzer Üçgenler

  Bir üçgende, bir kenara paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, küçük bir üçgen oluşur. Bu küçük üçgen, büyük üçgene benzerdir. Yani, $\triangle ADE$ üçgeni ile $\triangle ABC$ üçgeni benzerdir.

  Neden benzerler? Çünkü:

  • $[DE] // [BC]$ olduğu için, yöndeş açılardan $\angle ADE = \angle ABC$ ve $\angle AED = \angle ACB$ olur.
  • $\angle DAE$ açısı ise her iki üçgen için de ortak açıdır.

  Bu durumda, Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ diyebiliriz.

• Benzerlik Oranını Yazalım:

  Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarının oranları birbirine eşittir. Bu durumda:

  $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}$

  Bizim problemimizde $|AB|$ uzunluğunu bulmak için ilk iki oranı kullanmamız yeterli olacaktır.

• Verilen Uzunlukları Yerine Koyalım:

  Öncelikle, $|AC|$ uzunluğunu bulmamız gerekiyor. $|AC|$ kenarı, $|AE|$ ve $|EC|$ uzunluklarının toplamıdır:

  $|AC| = |AE| + |EC|$

  $|AC| = 4 \text{ cm} + 8 \text{ cm}$

  $|AC| = 12 \text{ cm}$

  Şimdi benzerlik oranındaki bilinen değerleri yerine yazalım:

  $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|}$

  $\frac{3}{|AB|} = \frac{4}{12}$

• Denklemi Çözelim:

  Denklemdeki $\frac{4}{12}$ ifadesini sadeleştirebiliriz. Her iki tarafı da 4'e bölersek:

  $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

  Şimdi denklemimiz şu hale geldi:

  $\frac{3}{|AB|} = \frac{1}{3}$

  İçler dışlar çarpımı yaparak $|AB|$ uzunluğunu bulabiliriz:

  $3 \times 3 = 1 \times |AB|$

  $9 = |AB|$

  Yani, $|AB|$ kenarının uzunluğu $9$ cm'dir.

Bu problemde benzer üçgenlerin özelliklerini kullanarak kolayca sonuca ulaştık. Unutmayın, geometri problemlerinde şekli doğru çizmek ve benzerlik gibi temel kavramları iyi anlamak çok önemlidir!

Cevap D seçeneğidir.