10. Sınıf Tema 6: Analitik İnceleme Test 2

1. A(2,3) ve B(8,11) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = 2x + 1
B) y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}
C) y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}
D) y = \frac{5}{3}x - \frac{1}{3}

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda iki noktası verilen bir doğrunun denklemini bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Doğrunun Eğimini ($m$) Bulma

Bir doğrunun denklemini bulmak için öncelikle eğimini bilmemiz gerekir. Eğim, iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır. Genel olarak, $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ noktalarından geçen bir doğrunun eğimi $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ formülüyle bulunur.

Bize verilen noktalar $A(2,3)$ ve $B(8,11)$'dir. Bu noktaları formülde yerine koyalım:

• $x_1 = 2$, $y_1 = 3$
• $x_2 = 8$, $y_2 = 11$

Eğim $m = \frac{11 - 3}{8 - 2} = \frac{8}{6}$ olur. Bu kesri sadeleştirdiğimizde $m = \frac{4}{3}$ olarak bulunur.

• 2. Adım: Doğrunun Denklemini Oluşturma

Doğrunun genel denklemi $y = mx + n$ şeklindedir, burada $m$ eğim ve $n$ y-eksenini kestiği noktadır (y-keseni). Eğim $m = \frac{4}{3}$ olduğuna göre, denklemimiz şimdilik $y = \frac{4}{3}x + n$ şeklindedir.

$n$ değerini bulmak için, doğrunun geçtiği noktalardan herhangi birini (örneğin $A(2,3)$ noktasını) bu denklemde yerine koyabiliriz. Eğer doğru bu noktadan geçiyorsa, noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır.

• $y = \frac{4}{3}x + n$ denkleminde $x=2$ ve $y=3$ yazalım:
• $3 = \frac{4}{3}(2) + n$
• $3 = \frac{8}{3} + n$

Şimdi $n$ değerini bulmak için $\frac{8}{3}$'ü eşitliğin diğer tarafına atalım:

• $n = 3 - \frac{8}{3}$
• Paydaları eşitlemek için $3$'ü $\frac{9}{3}$ olarak yazalım:
• $n = \frac{9}{3} - \frac{8}{3}$
• $n = \frac{1}{3}$

Böylece $n$ değerini de bulmuş olduk. Şimdi eğim ($m$) ve y-keseni ($n$) değerlerini genel denklemde yerine yazarak doğrunun denklemini elde edelim:

• $y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$
• 3. Adım: Seçeneklerle Karşılaştırma

Bulduğumuz denklem $y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$'tür. Seçeneklere baktığımızda, bu denklemin B seçeneği ile aynı olduğunu görüyoruz.

Cevap B seçeneğidir.