f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun sıfırları hangileridir?
A) 1 ve -1Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyonun sıfırları, o fonksiyonun değerini sıfır yapan $x$ değerleridir. Yani, $f(x) = 0$ denklemini sağlayan $x$ değerlerini bulmamız gerekiyor. Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ olarak verilmiş. Adım adım bu sıfırları bulalım:
Fonksiyonun sıfırlarını bulmak için $f(x) = 0$ denklemini kurarız:
$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$
Bir kesrin değeri sıfır ise, payı sıfır olmalı ve paydası sıfırdan farklı olmalıdır. Yani, $\frac{A}{B} = 0$ olması için $A = 0$ ve $B \neq 0$ koşulları aynı anda sağlanmalıdır.
Payımız $x^2 - 1$. Bunu sıfıra eşitleriz:
$x^2 - 1 = 0$
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz. Bu bir "iki kare farkı" özdeşliğidir: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Yani, $x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1) = 0$ olur.
Bu denklemin çözümleri şunlardır:
Şu an için potansiyel sıfırlarımız $x = 1$ ve $x = -1$ değerleridir.
Paydamız $x - 1$. Paydanın sıfır olmaması gerektiğini biliyoruz, çünkü payda sıfır olursa fonksiyon tanımsız olur.
$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
Potansiyel sıfırlarımız $x = 1$ ve $x = -1$ idi. Ancak, paydanın sıfır olmama koşulu bize $x \neq 1$ olduğunu söylüyor.
Bu durumda, $x = 1$ değeri fonksiyonun sıfırı olamaz, çünkü bu değerde fonksiyon tanımsızdır (fonksiyonun grafiğinde bir "boşluk" veya "delik" oluşur).
Geriye kalan tek değer $x = -1$ değeridir. Bu değer paydanın sıfır olmama koşulunu ($x \neq 1$) sağlar.
Fonksiyonun sıfırı sadece $x = -1$ değeridir.
Cevap C seçeneğidir.
