A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)} kartezyen çarpım kümesi veriliyor. Buna göre A ve B kümeleri aşağıdakilerden hangisidir?
A) A = {1,2}, B = {a,b}
B) A = {1,2,3}, B = {a,b}
C) A = {1,2,3}, B = {a,b,c}
D) A = {1,2}, B = {a,b,c}
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bize bir kartezyen çarpım kümesi verilmiş ve bu kümenin hangi A ve B kümelerinden oluştuğunu bulmamız isteniyor. Hadi bu problemi adım adım çözelim:
- Kartezyen Çarpım Nedir?
İki kümenin kartezyen çarpımı, birinci kümeden bir eleman ve ikinci kümeden bir eleman alarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesidir. Yani, $A \times B$ kümesinin her bir elemanı $(x, y)$ şeklinde bir sıralı ikilidir. Burada $x$ elemanı daima $A$ kümesinden, $y$ elemanı ise daima $B$ kümesinden gelir.
- A Kümesini Bulma:
Verilen $A \times B$ kümesindeki her bir sıralı ikilinin birinci bileşenleri, $A$ kümesinin elemanlarını oluşturur. Küme elemanları tekrar etmez, bu yüzden aynı elemanı birden fazla yazmayız.
- Verilen küme: $A \times B = \{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)\}$
- Birinci bileşenler: $1, 1, 2, 2, 3, 3$
- Bu bileşenlerden oluşan $A$ kümesi: $A = \{1, 2, 3\}$
- B Kümesini Bulma:
Verilen $A \times B$ kümesindeki her bir sıralı ikilinin ikinci bileşenleri, $B$ kümesinin elemanlarını oluşturur. Yine aynı şekilde, küme elemanları tekrar etmez.
- Verilen küme: $A \times B = \{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)\}$
- İkinci bileşenler: $a, b, a, b, a, b$
- Bu bileşenlerden oluşan $B$ kümesi: $B = \{a, b\}$
- Doğru Seçeneği Belirleme:
Bulduğumuz $A = \{1, 2, 3\}$ ve $B = \{a, b\}$ kümelerini seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $A = \{1,2\}$, $B = \{a,b\}$ (A kümesi eksik)
- B) $A = \{1,2,3\}$, $B = \{a,b\}$ (Doğru eşleşme)
- C) $A = \{1,2,3\}$, $B = \{a,b,c\}$ (B kümesi fazla eleman içeriyor)
- D) $A = \{1,2\}$, $B = \{a,b,c\}$ (Hem A hem de B kümeleri yanlış)
Cevap B seçeneğidir.
