Bir çember üzerinde eşit aralıklarla işaretlenmiş 8 nokta vardır. Bu noktalardan herhangi ikisi kullanılarak kaç farklı kiriş çizilebilir?
A) 16Sevgili öğrenciler, bu problemde bir çember üzerindeki belirli noktalardan kaç farklı kiriş çizebileceğimizi bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Bir çember üzerinde 8 tane nokta işaretlenmiş. Bizden istenen, bu 8 noktadan herhangi ikisini kullanarak kaç farklı kiriş çizebileceğimizdir. Kiriş, bir çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır.
Bir kiriş çizmek için 2 noktaya ihtiyacımız var. Elimizde ise toplam 8 nokta var. Önemli olan nokta şudur: A noktasını ve B noktasını seçerek çizdiğimiz kiriş ile B noktasını ve A noktasını seçerek çizdiğimiz kiriş aynı kiriştir. Yani, noktaların seçilme sırası önemli değildir. Sıranın önemli olmadığı seçim problemlerinde kombinasyon (birleşim) kullanırız.
Eğer sıra önemli olsaydı (örneğin, sıralı ikililer oluşturmak gibi), permütasyon kullanırdık. Ancak burada sadece bir grup (iki nokta) seçiyoruz.
$n$ elemanlı bir kümeden $k$ elemanlı alt kümeler oluşturma kombinasyon formülü şöyledir:
$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Burada $n$ toplam nokta sayısı (8) ve $k$ bir kiriş çizmek için gereken nokta sayısıdır (2).
Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:
$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!}$
$C(8, 2) = \frac{8!}{2!6!}$
Faktöriyelleri açarak hesaplamayı yapalım:
$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$2! = 2 \times 1$
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
Formülde yerine koyarsak:
$C(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!}$
Burada pay ve paydadaki $6!$ ifadelerini sadeleştirebiliriz:
$C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2 \times 1}$
$C(8, 2) = \frac{56}{2}$
$C(8, 2) = 28$
Yapılan hesaplamalar sonucunda, 8 noktadan herhangi ikisi kullanılarak 28 farklı kiriş çizilebileceğini bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
