Ya da bağlacı (⊻) nedir Test 1

p ⊻ q önermesi aşağıdakilerden hangisine eşdeğerdir?

A) (p ∧ q') ∨ (p' ∧ q)
B) (p ∨ q) ∧ (p' ∨ q')
C) p ∧ q
D) p ∨ q

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, mantıkta sıkça karşılaştığımız "dışlayıcı veya" (exclusive OR) bağlacının ($p \veebar q$) hangi ifadeye eşdeğer olduğunu bulmamız isteniyor. Dışlayıcı veya bağlacı, iki önermeden sadece birinin doğru olması durumunda doğru olan bir bileşik önermedir. Yani, her ikisi de doğru veya her ikisi de yanlış olduğunda yanlıştır.

Şimdi, bu eşdeğerliği adım adım inceleyelim:

• Adım 1: $p \veebar q$ önermesinin doğruluk tablosunu oluşturalım.

  Doğruluk tablosu, $p$ ve $q$ önermelerinin her olası doğruluk değeri kombinasyonu için $p \veebar q$ önermesinin doğruluk değerini gösterir. Hatırlayalım, $p \veebar q$ sadece bir önerme doğru olduğunda doğrudur.

  $p$ | $q$ | $p \veebar q$
  --- | --- | ---
  $D$ | $D$ | $Y$ (İkisi de doğru, dışlayıcı veya yanlış)
  $D$ | $Y$ | $D$ (Sadece $p$ doğru, dışlayıcı veya doğru)
  $Y$ | $D$ | $D$ (Sadece $q$ doğru, dışlayıcı veya doğru)
  $Y$ | $Y$ | $Y$ (İkisi de yanlış, dışlayıcı veya yanlış)

  Bu tabloyu aklımızda tutalım. Şimdi seçenekleri inceleyelim.

• Adım 2: A seçeneğindeki $(p \wedge q') \vee (p' \wedge q)$ ifadesinin doğruluk tablosunu oluşturalım.

  Bu ifadeyi daha iyi anlamak için adım adım inceleyelim:

  • $p'$: $p$ önermesinin değili (tersi). Eğer $p$ doğruysa $p'$ yanlış, $p$ yanlışsa $p'$ doğrudur.
  • $q'$: $q$ önermesinin değili (tersi). Eğer $q$ doğruysa $q'$ yanlış, $q$ yanlışsa $q'$ doğrudur.
  • $p \wedge q'$: $p$ doğru VE $q'$ doğru olduğunda doğru olan bir önermedir. Bu da $p$ doğru VE $q$ yanlış olduğunda anlamına gelir.
  • $p' \wedge q$: $p'$ doğru VE $q$ doğru olduğunda doğru olan bir önermedir. Bu da $p$ yanlış VE $q$ doğru olduğunda anlamına gelir.
  • $(p \wedge q') \vee (p' \wedge q)$: Yukarıdaki iki ifadeden ($p \wedge q'$ veya $p' \wedge q$) en az biri doğru olduğunda doğru olan bir önermedir.

  Şimdi bu adımları kullanarak doğruluk tablosunu oluşturalım:

  $p$ | $q$ | $p'$ | $q'$ | $p \wedge q'$ | $p' \wedge q$ | $(p \wedge q') \vee (p' \wedge q)$
  --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
  $D$ | $D$ | $Y$ | $Y$ | $Y$ | $Y$ | $Y$
  $D$ | $Y$ | $Y$ | $D$ | $D$ | $Y$ | $D$
  $Y$ | $D$ | $D$ | $Y$ | $Y$ | $D$ | $D$
  $Y$ | $Y$ | $D$ | $D$ | $Y$ | $Y$ | $Y$

• Adım 3: İki doğruluk tablosunu karşılaştıralım.

  İlk adımda oluşturduğumuz $p \veebar q$ tablosunun son sütunu ile ikinci adımda oluşturduğumuz $(p \wedge q') \vee (p' \wedge q)$ tablosunun son sütununu karşılaştıralım:

  • $p=D, q=D$ için: $p \veebar q$ değeri $Y$, $(p \wedge q') \vee (p' \wedge q)$ değeri $Y$. (Eşleşiyor)
  • $p=D, q=Y$ için: $p \veebar q$ değeri $D$, $(p \wedge q') \vee (p' \wedge q)$ değeri $D$. (Eşleşiyor)
  • $p=Y, q=D$ için: $p \veebar q$ değeri $D$, $(p \wedge q') \vee (p' \wedge q)$ değeri $D$. (Eşleşiyor)
  • $p=Y, q=Y$ için: $p \veebar q$ değeri $Y$, $(p \wedge q') \vee (p' \wedge q)$ değeri $Y$. (Eşleşiyor)

  Gördüğümüz gibi, her iki önermenin doğruluk değerleri tüm durumlar için tamamen aynıdır. Bu da, bu iki önermenin birbirine eşdeğer olduğunu gösterir: $p \veebar q \equiv (p \wedge q') \vee (p' \wedge q)$.

Cevap A seçeneğidir.