Bir öğrenci defterine aşağıdaki sayıları yazmıştır:
-3, 0, 1/2, √4, 2,5, √5
Bu sayılardan hangileri hem tam sayılar kümesinde hem de rasyonel sayılar kümesinde yer alır?
A) Yalnızca -3 ve 0
B) Yalnızca -3, 0 ve √4
C) Yalnızca -3, 0, √4 ve 2,5
D) Tüm sayılar
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözebilmek için öncelikle tam sayılar ve rasyonel sayılar kümelerinin ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- Tam Sayılar Kümesi ($\mathbb{Z}$): Pozitif doğal sayılar, negatif doğal sayılar ve sıfırdan oluşan kümedir. Yani $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$ şeklindeki sayılardır. Kesirli veya ondalıklı kısımları yoktur.
- Rasyonel Sayılar Kümesi ($\mathbb{Q}$): $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $a/b$ şeklinde yazılabilen sayılar kümesidir. Ondalıklı gösterimi sonlu olan (örneğin $0,5$) veya devirli olan (örneğin $0,333\dots$) sayılar da rasyoneldir. Unutmayın, her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır (çünkü her $x$ tam sayısı $x/1$ şeklinde yazılabilir).
Şimdi defterinizdeki her bir sayıyı tek tek inceleyelim ve hem tam sayı hem de rasyonel sayı olup olmadıklarına karar verelim:
- $-3$:
- Tam sayı mı? Evet, negatif bir tam sayıdır.
- Rasyonel sayı mı? Evet, $-3 = -3/1$ şeklinde yazılabilir.
- Sonuç: Hem tam sayı hem de rasyonel sayıdır.
- $0$:
- Tam sayı mı? Evet, sıfır bir tam sayıdır.
- Rasyonel sayı mı? Evet, $0 = 0/1$ şeklinde yazılabilir.
- Sonuç: Hem tam sayı hem de rasyonel sayıdır.
- $1/2$:
- Tam sayı mı? Hayır, kesirli bir sayıdır, tam bir birim değildir.
- Rasyonel sayı mı? Evet, zaten $a/b$ şeklinde yazılmıştır.
- Sonuç: Rasyoneldir ama tam sayı değildir.
- $\sqrt{4}$:
- Öncelikle $\sqrt{4}$ ifadesinin değerini bulalım: $\sqrt{4} = 2$.
- Tam sayı mı? Evet, $2$ bir tam sayıdır.
- Rasyonel sayı mı? Evet, $2 = 2/1$ şeklinde yazılabilir.
- Sonuç: Hem tam sayı hem de rasyonel sayıdır.
- $2,5$:
- Tam sayı mı? Hayır, ondalıklı bir sayıdır, tam bir birim değildir.
- Rasyonel sayı mı? Evet, $2,5 = 25/10 = 5/2$ şeklinde yazılabilir. Ondalıklı gösterimi sonlu olduğu için rasyoneldir.
- Sonuç: Rasyoneldir ama tam sayı değildir.
- $\sqrt{5}$:
- $\sqrt{5}$ ifadesinin değeri yaklaşık olarak $2,236\dots$ şeklindedir. Tam bir sayı değildir ve ondalık kısmı devirli olmayan sonsuz bir sayıdır.
- Tam sayı mı? Hayır.
- Rasyonel sayı mı? Hayır, $a/b$ şeklinde yazılamaz. Bu tür sayılara irrasyonel sayılar denir.
- Sonuç: Ne tam sayı ne de rasyonel sayıdır.
Yukarıdaki incelemelerimize göre, hem tam sayılar kümesinde hem de rasyonel sayılar kümesinde yer alan sayılar şunlardır: $-3$, $0$ ve $\sqrt{4}$.
Bu sayılar seçeneklerde B şıkkında verilmiştir.
Cevap B seçeneğidir.
