Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, sayı kümeleri arasındaki temel ilişkileri anlamamız gerekiyor. Gerçek sayılar kümesi ($ \mathbb{R} $), rasyonel sayılar ($ \mathbb{Q} $) ve irrasyonel sayılar ($ \mathbb{I} $) arasındaki bağlantıları adım adım inceleyelim:
- Gerçek Sayılar ($ \mathbb{R} $): Sayı doğrusu üzerinde gösterebildiğimiz tüm sayılardır. Bu küme, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar olmak üzere iki ana alt kümeden oluşur.
- Rasyonel Sayılar ($ \mathbb{Q} $): Bir tam sayı $a$ ve sıfırdan farklı bir tam sayı $b$ olmak üzere, $ \frac{a}{b} $ şeklinde yazılabilen sayılardır. Örneğin, $2$ ($ \frac{2}{1} $), $0.5$ ($ \frac{1}{2} $), $ -\frac{3}{4} $ gibi sayılar rasyoneldir.
- İrrasyonel Sayılar ($ \mathbb{I} $): Rasyonel olmayan sayılardır. Yani, $ \frac{a}{b} $ şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri devirli olmayan ve sonsuza kadar devam eden sayılardır. Örneğin, $ \sqrt{2} $, $ \pi $ (pi sayısı), $ e $ (Euler sayısı) gibi sayılar irrasyoneldir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $ \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \emptyset $
- Bu ifade, rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşiminin boş küme ($ \emptyset $) olduğunu söyler. Ancak hem rasyonel hem de irrasyonel sayılar kümesi sonsuz sayıda eleman içerir. Dolayısıyla, bu ifade yanlıştır.
- B) $ \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \mathbb{R} $
- Bu ifade, rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin kesişiminin gerçek sayılar kümesi ($ \mathbb{R} $) olduğunu söyler. Bir sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir; aynı anda ikisi birden olamaz. Bu nedenle, rasyonel ve irrasyonel kümelerin ortak elemanı yoktur, yani kesişimleri boş kümedir ($ \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset $). Dolayısıyla, bu ifade yanlıştır.
- C) $ \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R} $
- Bu ifade, rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşiminin gerçek sayılar kümesi ($ \mathbb{R} $) olduğunu söyler. Gerçek sayılar tanım olarak rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamını kapsar. Yani, sayı doğrusu üzerindeki her sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir. Bu ifade doğrudur.
- D) $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{I} $
- Bu ifade, rasyonel sayılar kümesinin irrasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesi olduğunu söyler. Bu, rasyonel olan her sayının aynı zamanda irrasyonel olduğu anlamına gelir ki bu yanlıştır. Rasyonel ve irrasyonel sayılar tamamen ayrı kümelerdir. Dolayısıyla, bu ifade yanlıştır.
Yukarıdaki analizler sonucunda, doğru ifadenin C) $ \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R} $ olduğu açıkça görülmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
