Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi Test 2

$$\frac{6x^2-24}{3x^2-6x}$$ ifadesinin en sade hali nedir?

A) $$\frac{2(x+2)}{x}$$
B) $$\frac{2(x-2)}{x}$$
C) $$\frac{x+2}{x}$$
D) $$\frac{x-2}{x}$$

Bu tür cebirsel ifadeleri en sade haline getirmek için hem payı hem de paydayı çarpanlarına ayırmamız gerekir. Ardından ortak çarpanları sadeleştirerek ifadeyi basitleştirebiliriz.

• Adım 1: Payı çarpanlarına ayıralım.

  Payımız $6x^2-24$ ifadesidir. İlk olarak, ortak çarpan olan $6$'yı dışarı alalım:

  $6x^2-24 = 6(x^2-4)$

  Şimdi parantez içindeki $x^2-4$ ifadesine dikkat edelim. Bu, iki kare farkı özdeşliğidir ($a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$). Burada $a=x$ ve $b=2$'dir.

  Yani $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ olur.

  O halde payın çarpanlarına ayrılmış hali:

  $6x^2-24 = 6(x-2)(x+2)$

• Adım 2: Paydayı çarpanlarına ayıralım.

  Paydamız $3x^2-6x$ ifadesidir. Bu ifadede ortak çarpan $3x$'tir.

  $3x^2-6x = 3x(x-2)$

• Adım 3: İfadeyi çarpanlarına ayrılmış haliyle yeniden yazalım.

  Şimdi orijinal ifadeyi, bulduğumuz çarpanlarına ayrılmış halleriyle yazalım:

  $$\frac{6x^2-24}{3x^2-6x} = \frac{6(x-2)(x+2)}{3x(x-2)}$$

• Adım 4: Ortak çarpanları sadeleştirelim.

  Pay ve paydada ortak olan $(x-2)$ çarpanını sadeleştirebiliriz (bu sadeleştirmeyi yapabilmek için $x \neq 2$ olmalıdır).

  Ayrıca, $6$ ve $3$ sayılarını da sadeleştirebiliriz ($6/3 = 2$).

  $$\frac{6\cancel{(x-2)}(x+2)}{3x\cancel{(x-2)}} = \frac{6(x+2)}{3x}$$

  Şimdi $6$ ve $3$'ü sadeleştirelim:

  $$\frac{2(x+2)}{x}$$

• Adım 5: En sade hali seçeneklerle karşılaştıralım.

  Bulduğumuz en sade hali $\frac{2(x+2)}{x}$'tir. Bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.

Cevap A seçeneğidir.