$$\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}$$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $$\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}$$
B) $$\frac{5x+1}{(x-2)(x+1)}$$
C) $$\frac{5x-7}{(x-2)(x+1)}$$
D) $$\frac{5x+7}{(x-2)(x+1)}$$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün rasyonel ifadeleri toplama işlemini adım adım nasıl yapacağımızı öğreneceğiz. Bu tür sorular, paydaları farklı olan kesirleri toplama mantığına dayanır. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: Paydaları Eşitleme
- Rasyonel ifadeleri toplayabilmek için öncelikle paydalarını eşitlememiz gerekir. Verilen ifadeler $\frac{3}{x-2}$ ve $\frac{2}{x+1}$ şeklindedir. Bu ifadelerin paydaları $x-2$ ve $x+1$'dir. Ortak payda, bu iki paydanın çarpımı olacaktır: $(x-2)(x+1)$.
- İlk kesrin paydasını $(x-2)(x+1)$ yapmak için payını ve paydasını $(x+1)$ ile çarparız:
- $\frac{3}{x-2} = \frac{3 \cdot (x+1)}{(x-2) \cdot (x+1)} = \frac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}$
- İkinci kesrin paydasını $(x-2)(x+1)$ yapmak için payını ve paydasını $(x-2)$ ile çarparız:
- $\frac{2}{x+1} = \frac{2 \cdot (x-2)}{(x+1) \cdot (x-2)} = \frac{2(x-2)}{(x-2)(x+1)}$
- Adım 2: Eşitlenmiş Paydalı Kesirleri Toplama
- Şimdi her iki kesrin de paydası aynı olduğu için, paylarını toplayabiliriz.
- $\frac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)} + \frac{2(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{3(x+1) + 2(x-2)}{(x-2)(x+1)}$
- Adım 3: Payı Düzenleme ve Sadeleştirme
- Şimdi pay kısmındaki ifadeleri dağıtarak ve benzer terimleri birleştirerek sadeleştirelim.
- Pay: $3(x+1) + 2(x-2)$
- Önce dağılma özelliğini kullanalım:
- $3 \cdot x + 3 \cdot 1 + 2 \cdot x + 2 \cdot (-2)$
- $3x + 3 + 2x - 4$
- Şimdi benzer terimleri (yani $x$'li terimleri kendi arasında, sabit sayıları kendi arasında) toplayalım:
- $(3x + 2x) + (3 - 4)$
- $5x - 1$
- Adım 4: Sonucu Yazma
- Payı düzenledikten sonra, ifadenin son hali şu şekilde olacaktır:
- $\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}$
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
