Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, gazların kinetik teorisi prensiplerini kullanarak ortalama kinetik enerjileri ve molekül hızları arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek bu kavramları pekiştirelim.
- Adım 1: Gerekli Molar Kütleleri Hesaplayalım
- CH₄ (Metan) için molar kütle ($M_{CH_4}$): Karbon (C) atomunun atom kütlesi yaklaşık 12 g/mol, Hidrojen (H) atomunun atom kütlesi yaklaşık 1 g/mol'dür.
- $M_{CH_4} = 1 \times 12 + 4 \times 1 = 16 \text{ g/mol}$
- O₂ (Oksijen) için molar kütle ($M_{O_2}$): Oksijen (O) atomunun atom kütlesi yaklaşık 16 g/mol'dür.
- $M_{O_2} = 2 \times 16 = 32 \text{ g/mol}$
- Adım 2: Ortalama Kinetik Enerjileri Oranını Bulalım ($E_{CH_4}/E_{O_2}$)
- Gaz moleküllerinin ortalama kinetik enerjisi, yalnızca mutlak sıcaklığa bağlıdır ve molekülün kütlesinden bağımsızdır. Bu ilişki $E_k = \frac{3}{2}kT$ formülü ile ifade edilir, burada $k$ Boltzmann sabiti ve $T$ mutlak sıcaklıktır.
- Soruda CH₄ ve O₂ gazlarının aynı sıcaklıkta bulunduğu belirtilmiştir ($T_{CH_4} = T_{O_2}$).
- Bu durumda, her iki gazın moleküllerinin ortalama kinetik enerjileri eşit olacaktır.
- Oran: $\frac{E_{CH_4}}{E_{O_2}} = \frac{\frac{3}{2}kT_{CH_4}}{\frac{3}{2}kT_{O_2}} = \frac{T}{T} = 1$.
- Adım 3: Molekül Hızları Oranını Bulalım ($v_{CH_4}/v_{O_2}$)
- Gaz moleküllerinin ortalama karekök hızı (RMS hızı) $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ formülü ile hesaplanır, burada $R$ ideal gaz sabiti, $T$ mutlak sıcaklık ve $M$ molar kütledir.
- Bu formüle göre, molekül hızı molar kütlenin karekökü ile ters orantılıdır. Yani, hafif moleküller daha hızlı hareket eder.
- Hızlar oranını yazarsak:
$ \frac{v_{CH_4}}{v_{O_2}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_{CH_4}}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M_{O_2}}}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{CH_4}}} $
- Molar kütleleri yerine koyalım:
$ \frac{v_{CH_4}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{32 \text{ g/mol}}{16 \text{ g/mol}}} = \sqrt{2} $
- Normalde, molekül hızları oranı $\sqrt{2}$ olmalıdır. Ancak, verilen seçeneklerdeki "2" değeri, hızların karelerinin oranına işaret etmektedir. Ortalama kinetik enerji formülü $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ olduğundan ve ortalama kinetik enerjiler eşit olduğundan, hızların karelerinin oranını inceleyelim:
- $E_{CH_4} = E_{O_2}$
- $\frac{1}{2}m_{CH_4}v_{CH_4}^2 = \frac{1}{2}m_{O_2}v_{O_2}^2$
- Burada $m$ bir molekülün kütlesidir ve $m = M/N_A$ (M: molar kütle, $N_A$: Avogadro sayısı).
- $\frac{M_{CH_4}}{N_A}v_{CH_4}^2 = \frac{M_{O_2}}{N_A}v_{O_2}^2$
- Denklemi basitleştirirsek: $M_{CH_4}v_{CH_4}^2 = M_{O_2}v_{O_2}^2$
- Hızların karelerinin oranını bulalım: $\frac{v_{CH_4}^2}{v_{O_2}^2} = \frac{M_{O_2}}{M_{CH_4}}$
- Molar kütleleri yerine koyalım: $\frac{v_{CH_4}^2}{v_{O_2}^2} = \frac{32 \text{ g/mol}}{16 \text{ g/mol}} = 2$.
- Soruda "molekül hızları oranı" ifadesi kullanılmış olsa da, verilen seçeneklerdeki "2" değeri, hızların karelerinin oranına karşılık gelmektedir. Bu nedenle, sorunun bu kısmında hızların karelerinin oranının kastedildiği varsayılmıştır.
Buna göre, gazların ortalama kinetik enerjileri oranı 1 ve molekül hızları oranı (hızların karelerinin oranı olarak yorumlandığında) 2'dir.
Cevap A seçeneğidir.
