Bir doğru ile bir parabolün birbirine göre durumları Test 2

y = -x² + 2x - 3 parabolü ile y = x + 1 doğrusunun kesişim durumu için ne söylenebilir?

A) İki farklı noktada kesişirler
B) Bir noktada teğettirler
C) Kesişmezler
D) Doğru parabolün tepe noktasından geçer

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir parabol ile bir doğrunun birbirine göre konumunu inceleyeceğiz. İki denklemin kesişim durumunu anlamak için, denklemleri birbirine eşitleyerek ortak çözüm ararız. Haydi adım adım ilerleyelim:

• 1. Denklemleri Birbirine Eşitleme:

  Parabolün denklemi $y = -x^2 + 2x - 3$ ve doğrunun denklemi $y = x + 1$. Kesişim noktalarını bulmak için $y$ değerlerini eşitlememiz gerekir:

  $-x^2 + 2x - 3 = x + 1$

• 2. Denklemi Düzenleme ve Standart Formda Yazma:

  Şimdi bu denklemi bir tarafta toplayarak standart bir ikinci dereceden denklem ($ax^2 + bx + c = 0$) haline getirelim:

  $-x^2 + 2x - x - 3 - 1 = 0$

  $-x^2 + x - 4 = 0$

  Genellikle $x^2$ teriminin katsayısını pozitif yapmayı tercih ederiz, bu yüzden denklemin her iki tarafını $-1$ ile çarpalım:

  $x^2 - x + 4 = 0$

• 3. Diskriminantı Hesaplama:

  Elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin ($x^2 - x + 4 = 0$) kaç farklı reel kökü olduğunu bulmak için diskriminantına ($\Delta$) bakmamız gerekir. Diskriminant formülü $\Delta = b^2 - 4ac$'dir.

  Burada $a = 1$, $b = -1$ ve $c = 4$. Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

  $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(4)$

  $\Delta = 1 - 16$

  $\Delta = -15$

• 4. Diskriminantı Yorumlama:

  Diskriminantın değerine göre kesişim durumunu belirleriz:

  • Eğer $\Delta > 0$ ise, iki farklı reel kök vardır, yani iki farklı noktada kesişirler.
  • Eğer $\Delta = 0$ ise, bir reel kök vardır, yani bir noktada teğettirler.
  • Eğer $\Delta < 0$ ise, reel kök yoktur, yani kesişmezler.

  Bizim durumumuzda $\Delta = -15$ ve bu değer $0$'dan küçüktür ($\Delta < 0$).

• 5. Sonuç:

  Diskriminant negatif olduğu için, parabol ile doğrunun kesiştiği herhangi bir reel $x$ değeri yoktur. Bu da demektir ki, parabol ile doğru kesişmezler.

Cevap C seçeneğidir.