Üçgende İç Açıortay Teoremi Nedir? Test 2

ABC üçgeninde [AD] iç açıortaydır. |AB| = 9 cm, |AC| = 6 cm ve |BC| = 10 cm olduğuna göre |BD| - |DC| farkı kaç cm'dir?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir üçgende iç açıortay teoremini kullanarak kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. İç Açıortay Teoremini Hatırlayalım:

  Bir üçgende bir köşeden çıkan iç açıortay, karşı kenarı diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler. Yani, ABC üçgeninde [AD] iç açıortay ise, $|AB|$'nin $|AC|$'ye oranı, $|BD|$'nin $|DC|$'ye oranına eşittir. Matematiksel olarak bunu şu şekilde ifade ederiz:

  $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}$

• 2. Verilen Değerleri Yerine Yazalım:

  Soruda bize verilen kenar uzunlukları şunlardır:

  • $|AB| = 9$ cm
  • $|AC| = 6$ cm
  • $|BC| = 10$ cm

  Şimdi iç açıortay teoremindeki oran denklemine bu değerleri yerleştirelim:

  $\frac{9}{6} = \frac{|BD|}{|DC|}$

• 3. Oranı Sadeleştirelim:

  Denklemdeki $\frac{9}{6}$ oranını sadeleştirebiliriz. Her iki tarafı da 3'e böldüğümüzde:

  $\frac{3}{2} = \frac{|BD|}{|DC|}$

  Bu oran bize $|BD|$'nin $|DC|$'ye oranının $3:2$ olduğunu gösterir. Yani, $|BD|$ uzunluğunu $3k$ ve $|DC|$ uzunluğunu $2k$ olarak ifade edebiliriz, burada $k$ bir orantı sabitidir.

• 4. $|BC|$ Uzunluğunu Kullanarak $k$ Değerini Bulalım:

  Biz biliyoruz ki $|BC|$ kenarı, $|BD|$ ve $|DC|$ uzunluklarının toplamına eşittir. Soruda $|BC| = 10$ cm olarak verilmişti.

  $|BC| = |BD| + |DC|$

  $10 = 3k + 2k$

  $10 = 5k$

  Şimdi $k$ değerini bulmak için her iki tarafı 5'e bölelim:

  $k = \frac{10}{5}$

  $k = 2$ cm

• 5. $|BD|$ ve $|DC|$ Uzunluklarını Hesaplayalım:

  $k$ değerini bulduğumuza göre, $|BD|$ ve $|DC|$ uzunluklarını ayrı ayrı hesaplayabiliriz:

  • $|BD| = 3k = 3 \times 2 = 6$ cm
  • $|DC| = 2k = 2 \times 2 = 4$ cm
• 6. Farkı Bulalım:

  Son olarak, bizden istenen $|BD| - |DC|$ farkını hesaplayalım:

  $|BD| - |DC| = 6 - 4 = 2$ cm

Cevap B seçeneğidir.