Dünya'daki kütle çekim ivmesi 9,8 m/s²'dir. Kütlesi Dünya'nın kütlesinin dörtte biri, yarıçapı ise Dünya'nın yarıçapının yarısı olan bir gezegende kütle çekim ivmesi kaç m/s² olur?
A) 2,45
B) 4,9
C) 9,8
D) 19,6
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu çözmek için, bir gezegenin yüzeyindeki kütle çekim ivmesini hesaplamak için kullandığımız temel formülü hatırlamamız gerekiyor. Haydi adım adım ilerleyelim ve bu ilginç problemi birlikte çözelim.
1. Kütle Çekim İvmesi Formülünü Hatırlayalım:
- Bir gezegenin yüzeyindeki kütle çekim ivmesi ($g$), gezegenin kütlesine ($M$) ve yarıçapına ($R$) bağlıdır. Formülü şu şekildedir:
- $g = G \frac{M}{R^2}$
- Burada $G$, evrensel çekim sabitidir ve değeri her yerde aynıdır.
2. Dünya İçin Formülü Yazalım:
- Dünya'nın kütlesini $M_D$, yarıçapını $R_D$ ve kütle çekim ivmesini $g_D$ ile gösterelim. Soruda bize $g_D = 9,8 \text{ m/s}^2$ olarak verilmiş.
- Dünya için formül: $g_D = G \frac{M_D}{R_D^2}$
3. Yeni Gezegen İçin Bilgileri Belirleyelim:
- Yeni gezegenin kütlesini $M_P$, yarıçapını $R_P$ ve kütle çekim ivmesini $g_P$ ile gösterelim.
- Soruda bize yeni gezegenin kütlesinin Dünya'nın kütlesinin dörtte biri olduğu söyleniyor: $M_P = \frac{M_D}{4}$
- Yeni gezegenin yarıçapının ise Dünya'nın yarıçapının yarısı olduğu belirtiliyor: $R_P = \frac{R_D}{2}$
4. Yeni Gezegen İçin Kütle Çekim İvmesi Formülünü Oluşturalım:
- Şimdi yeni gezegenin kütle çekim ivmesi formülünde, $M_P$ ve $R_P$ yerine yukarıdaki ifadeleri yazalım:
- $g_P = G \frac{M_P}{R_P^2}$
- $g_P = G \frac{\frac{M_D}{4}}{(\frac{R_D}{2})^2}$
5. İfadeyi Basitleştirelim:
- Paydadaki ifadeyi açalım: $(\frac{R_D}{2})^2 = \frac{R_D^2}{2^2} = \frac{R_D^2}{4}$
- Şimdi formülü tekrar yazalım: $g_P = G \frac{\frac{M_D}{4}}{\frac{R_D^2}{4}}$
- Bu kesirli ifadeyi sadeleştirelim. Paydaki ve paydadaki 4'ler birbirini götürecektir:
- $g_P = G \frac{M_D}{R_D^2}$
6. Sonucu Dünya'nın Kütle Çekim İvmesiyle Karşılaştıralım:
- Harika! Yeni gezegen için bulduğumuz kütle çekim ivmesi formülü, Dünya için yazdığımız formülle tamamen aynı çıktı:
- $g_P = G \frac{M_D}{R_D^2}$ ve $g_D = G \frac{M_D}{R_D^2}$
- Yani, $g_P = g_D$
7. Sayısal Değeri Bulalım:
- Dünya'daki kütle çekim ivmesi $9,8 \text{ m/s}^2$ olduğuna göre, yeni gezegendeki kütle çekim ivmesi de aynı olacaktır.
- $g_P = 9,8 \text{ m/s}^2$
Gördüğünüz gibi, gezegenin kütlesi dörtte birine düşerken, yarıçapı da yarıya düştüğünde, bu iki değişiklik birbirini dengeleyerek kütle çekim ivmesinin aynı kalmasına neden oldu. Bu tür problemler, formülleri doğru bir şekilde uygulamanın ve cebirsel işlemleri dikkatli yapmanın ne kadar önemli olduğunu gösterir!
Cevap C seçeneğidir.
