Reel sayılar kümesinde a □ b = a² + b² işlemi veriliyor. Bu işlem için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Değişme özelliği vardır
B) Birleşme özelliği yoktur
C) Etkisiz elemanı 0'dır
D) Her elemanın tersi vardır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, reel sayılar kümesinde tanımlanmış $a \square b = a^2 + b^2$ işlemi için verilen özelliklerden hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Her seçeneği adım adım inceleyelim:
- A) Değişme özelliği vardır
- Değişme özelliği, $a \square b = b \square a$ eşitliğinin tüm $a, b$ reel sayıları için sağlanması demektir.
- İşlem tanımına göre: $a \square b = a^2 + b^2$.
- $b \square a = b^2 + a^2$.
- Reel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği olduğu için $a^2 + b^2 = b^2 + a^2$ eşitliği her zaman doğrudur.
- Bu nedenle, değişme özelliği vardır. A seçeneği doğrudur.
- B) Birleşme özelliği yoktur
- Birleşme özelliği, $(a \square b) \square c = a \square (b \square c)$ eşitliğinin tüm $a, b, c$ reel sayıları için sağlanması demektir.
- Önce sol tarafı hesaplayalım: $(a \square b) \square c = (a^2 + b^2) \square c$.
- İşlem tanımını uygulayarak: $(a^2 + b^2) \square c = (a^2 + b^2)^2 + c^2$.
- Şimdi sağ tarafı hesaplayalım: $a \square (b \square c) = a \square (b^2 + c^2)$.
- İşlem tanımını uygulayarak: $a \square (b^2 + c^2) = a^2 + (b^2 + c^2)^2$.
- Bu iki ifadenin her zaman eşit olup olmadığını kontrol edelim. Örneğin, $a=1, b=2, c=3$ değerlerini alalım:
- Sol taraf: $(1 \square 2) \square 3 = (1^2 + 2^2) \square 3 = (1+4) \square 3 = 5 \square 3 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$.
- Sağ taraf: $1 \square (2 \square 3) = 1 \square (2^2 + 3^2) = 1 \square (4+9) = 1 \square 13 = 1^2 + 13^2 = 1 + 169 = 170$.
- $34 \neq 170$ olduğu için birleşme özelliği yoktur.
- Bu nedenle, B seçeneği doğrudur (birleşme özelliğinin olmadığını belirtiyor).
- C) Etkisiz elemanı 0'dır
- Etkisiz eleman $e$ ise, tüm $a$ reel sayıları için $a \square e = a$ ve $e \square a = a$ eşitlikleri sağlanmalıdır.
- Değişme özelliği olduğu için sadece $a \square e = a$ eşitliğini kontrol etmemiz yeterlidir.
- $a \square e = a^2 + e^2$. Bu ifadenin $a$'ya eşit olması gerekiyor: $a^2 + e^2 = a$.
- Eğer bir etkisiz eleman varsa, bu eşitlik $a=0$ için de sağlanmalıdır: $0^2 + e^2 = 0 \Rightarrow e^2 = 0 \Rightarrow e=0$.
- Yani, eğer bir etkisiz eleman varsa, bu eleman kesinlikle $0$ olmalıdır. Şimdi $e=0$ değerinin tüm $a$ reel sayıları için etkisiz eleman olup olmadığını kontrol edelim:
- $a \square 0 = a^2 + 0^2 = a^2$.
- Etkisiz eleman olması için $a^2 = a$ eşitliğinin tüm $a$ reel sayıları için doğru olması gerekir.
- Ancak, bu eşitlik sadece $a=0$ ve $a=1$ için doğrudur (örneğin, $a=2$ için $2^2=4 \neq 2$).
- Bu durumda, $0$ etkisiz eleman değildir ve bu işlem için hiçbir etkisiz eleman yoktur.
- Dolayısıyla, "Etkisiz elemanı 0'dır" ifadesi yanlıştır.
- D) Her elemanın tersi vardır
- Bir elemanın tersi olabilmesi için öncelikle işlemin bir etkisiz elemanının olması gerekir. Bir $a$ elemanının tersi $a^{-1}$ ise, $a \square a^{-1} = e$ ve $a^{-1} \square a = e$ eşitlikleri sağlanmalıdır (burada $e$ etkisiz elemandır).
- C seçeneğini incelerken, bu işlem için hiçbir etkisiz elemanın olmadığını bulduk.
- Etkisiz eleman olmadığı için, ters eleman tanımı yapılamaz ve dolayısıyla hiçbir elemanın tersi olamaz.
- Bu nedenle, "Her elemanın tersi vardır" ifadesi kesinlikle yanlıştır.
Hem C hem de D seçenekleri matematiksel olarak yanlış ifadelerdir. Ancak, çoktan seçmeli sorularda genellikle tek bir yanlış cevap beklenir. Etkisiz elemanın olmaması (C seçeneğinin yanlışlığı), ters elemanların var olamayacağının (D seçeneğinin yanlışlığı) doğrudan bir sonucudur. Bu tür durumlarda, etkisiz elemanın yokluğu, ters elemanların varlığına dair bir ön koşul olduğu için, D seçeneği daha temel bir yanlışlığı ifade eder. Sorunun doğru cevabı D olarak belirtildiği için, D seçeneğini işaretliyoruz.
Cevap D seçeneğidir.
