Yarıçap (r) nedir Test 2

İç içe geçmiş iki daireden büyük dairenin yarıçapı küçük dairenin yarıçapının 2 katıdır. Küçük dairenin alanı 16π cm² olduğuna göre, iki daire arasında kalan halkanın alanı kaç π cm²'dir?

A) 16
B) 32
C) 48
D) 64

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, iç içe geçmiş iki dairenin alanları ve yarıçapları arasındaki ilişkileri kullanarak aralarındaki halkanın alanını bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.

• Adım 1: Küçük Dairenin Yarıçapını Bulalım

  Bir dairenin alanı $A = \pi r^2$ formülüyle bulunur, burada $r$ dairenin yarıçapıdır.

  Soruda küçük dairenin alanı $16\pi$ cm² olarak verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak küçük dairenin yarıçapını ($r_{küçük}$) bulabiliriz:

  • $A_{küçük} = \pi (r_{küçük})^2$
  • $16\pi = \pi (r_{küçük})^2$
  • Her iki tarafı $\pi$'ye bölersek: $16 = (r_{küçük})^2$
  • $r_{küçük}$'ü bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: $r_{küçük} = \sqrt{16} = 4$ cm.

  Demek ki küçük dairenin yarıçapı $4$ cm'dir.

• Adım 2: Büyük Dairenin Yarıçapını Bulalım

  Soruda, büyük dairenin yarıçapının küçük dairenin yarıçapının 2 katı olduğu belirtilmiş. Büyük dairenin yarıçapına $r_{büyük}$ diyelim.

  • $r_{büyük} = 2 \times r_{küçük}$
  • Küçük dairenin yarıçapını $4$ cm olarak bulmuştuk. Bu değeri yerine yazalım:
  • $r_{büyük} = 2 \times 4 = 8$ cm.

  Büyük dairenin yarıçapı $8$ cm'dir.

• Adım 3: Büyük Dairenin Alanını Bulalım

  Şimdi büyük dairenin alanını, $A = \pi r^2$ formülünü kullanarak hesaplayabiliriz.

  • $A_{büyük} = \pi (r_{büyük})^2$
  • $r_{büyük}$ değerini $8$ cm olarak yerine koyalım:
  • $A_{büyük} = \pi (8)^2 = \pi \times 64 = 64\pi$ cm².

  Büyük dairenin alanı $64\pi$ cm²'dir.

• Adım 4: İki Daire Arasında Kalan Halkanın Alanını Bulalım

  İki daire arasında kalan halkanın alanı, büyük dairenin alanından küçük dairenin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Yani:

  • $A_{halka} = A_{büyük} - A_{küçük}$
  • $A_{büyük}$ değerini $64\pi$ cm² ve $A_{küçük}$ değerini $16\pi$ cm² olarak bulmuştuk.
  • Bu değerleri formülde yerine yazalım: $A_{halka} = 64\pi - 16\pi$
  • $A_{halka} = (64 - 16)\pi = 48\pi$ cm².

  İki daire arasında kalan halkanın alanı $48\pi$ cm²'dir.

Cevap C seçeneğidir.