Bu soruda, $x$ sonsuza giderken bir rasyonel ifadenin limitini bulmamız isteniyor. Bu tür limitleri çözerken izlememiz gereken adımlar genellikle bellidir.
- Öncelikle, limitini aldığımız ifadenin pay ve paydasındaki en yüksek dereceli terimi belirleriz. Burada pay $3x^2 + 2x - 1$ ve payda $2x^2 - x + 5$ şeklindedir. Her iki polinomun da en yüksek dereceli terimi $x^2$'dir.
- İfadenin hem payını hem de paydasını, en yüksek dereceli terim olan $x^2$'ye böleriz. Bu işlem, sonsuzda limit alırken belirsizlikleri ortadan kaldırmamıza yardımcı olur.
- İfadeyi yeniden düzenleyelim:
-
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x^2 - x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{5}{x^2}}$
- Şimdi her bir terimi sadeleştirelim:
-
$= \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}}$
- Şimdi limit alma kuralını uygulayalım: $x \to \infty$ iken, herhangi bir sabit $c$ için $\frac{c}{x^n}$ şeklindeki ifadelerin limiti $0$'dır (burada $n > 0$).
- Bu kuralı uyguladığımızda, $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{1}{x}$ ve $\frac{5}{x^2}$ terimlerinin hepsi $0$'a yaklaşır.
- Bu değerleri limit ifadesine yerine koyarsak:
-
$= \frac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0}$
-
$= \frac{3}{2}$
- Önemli Not: Bu tür rasyonel fonksiyonlarda $x \to \infty$ limitini alırken, pay ve paydanın dereceleri eşitse, limit bu terimlerin katsayılarının oranıdır. Burada payın en yüksek dereceli terimi $3x^2$ ve paydanın en yüksek dereceli terimi $2x^2$'dir. Katsayıları sırasıyla $3$ ve $2$'dir. Dolayısıyla limit doğrudan $\frac{3}{2}$ olarak bulunabilir.
Doğru cevap C seçeneğidir.
