$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ limitinin değeri kaçtır?
A) $\frac{1}{2}$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle limit konusunda sıkça karşımıza çıkan bir belirsizlik durumunu nasıl çözeceğimizi adım adım inceleyeceğiz. Sorumuz, $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ limitinin değerini bulmak.
Bu tür limit sorularında ilk yapmamız gereken şey, $x$ yerine limitin yaklaştığı değeri (burada $1$) doğrudan ifadede yerine koymaktır. Bakalım ne ile karşılaşacağız:
Pay kısmına $x=1$ yazarsak: $1^3 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Payda kısmına $x=1$ yazarsak: $1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliği ile karşılaştık. Bu durum, ifadenin sadeleştirilmesi gerektiğini gösterir.
Belirsizliği ortadan kaldırmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. Bunun için bilinen özdeşlikleri kullanacağız:
Pay için ($x^3 - 1$): Bu ifade, küpler farkı özdeşliğidir: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Burada $a=x$ ve $b=1$ alırsak:
$x^3 - 1^3 = (x-1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x-1)(x^2 + x + 1)$.
Payda için ($x^2 - 1$): Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğidir: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Burada $a=x$ ve $b=1$ alırsak:
$x^2 - 1^2 = (x-1)(x+1)$.
Şimdi çarpanlarına ayırdığımız ifadeleri limit denkleminde yerine yazalım:
$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x+1)}$
$x \to 1$ demek, $x$'in $1$'e çok yakın ama $1$ olmadığını ifade eder. Bu yüzden $(x-1)$ terimi $0$ değildir ve pay ile paydadaki $(x-1)$ çarpanlarını sadeleştirebiliriz:
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x+1}$
Artık sadeleşmiş ifadede $x=1$ değerini yerine koyarak limiti hesaplayabiliriz:
Pay: $1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
Payda: $1 + 1 = 2$.
Sonuç olarak limitin değeri $\frac{3}{2}$'dir.
Bu adımları takip ederek, belirsizlik içeren limit sorularını kolayca çözebiliriz. Unutmayın, çarpanlara ayırma ve özdeşlik bilgisi bu tür sorular için çok önemlidir!
Cevap C seçeneğidir.
