x(x - 3)(x + 2) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki sayı doğrularından hangisinde doğru olarak gösterilmiştir?
A) -2, 0 ve 3 noktalarında boş daire, (-∞, -2] ∪ [0, 3] taranmış
B) -2, 0 ve 3 noktalarında dolu daire, [-2, 0] ∪ [3, ∞) taranmış
C) -2, 0 ve 3 noktalarında dolu daire, (-∞, -2] ∪ [0, 3] taranmış
D) -2, 0 ve 3 noktalarında boş daire, [-2, 0] ∪ [3, ∞) taranmış
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir çarpım şeklindeki eşitsizliğin çözüm kümesini bulmamız ve bunu sayı doğrusunda doğru şekilde göstermemiz isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Eşitsizliğin Köklerini (Kritik Noktalarını) Bulma
- Eşitsizliğimiz $x(x - 3)(x + 2) \le 0$ şeklindedir. Bu eşitsizliği sıfır yapan değerlere "kök" veya "kritik nokta" denir. Her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek bu noktaları buluruz:
- $x = 0$
- $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
- $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
- Böylece kritik noktalarımız $-2$, $0$ ve $3$ olarak bulunur. Bu noktalar, sayı doğrusunu işaret incelemesi yapacağımız aralıklara ayırır.
- Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
- Kritik noktaları sayı doğrusunda küçükten büyüğe doğru sıralarız: $-2$, $0$, $3$. Bu noktalar sayı doğrusunu dört aralığa böler: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 3)$ ve $(3, \infty)$.
- Şimdi, her bir aralıkta eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin ($x(x - 3)(x + 2)$) işaretini belirleyelim. Bunun için her bir çarpanın işaretini ayrı ayrı inceleyip sonra çarparız:
- Aralık $(-\infty, -2)$ (Örn: $x = -3$):
- $x = -3 \Rightarrow (-)$
- $x - 3 = -3 - 3 = -6 \Rightarrow (-)$
- $x + 2 = -3 + 2 = -1 \Rightarrow (-)$
- Çarpım: $(-)(-)(-) = (-)$. Bu aralıkta ifade negatiftir.
- Aralık $(-2, 0)$ (Örn: $x = -1$):
- $x = -1 \Rightarrow (-)$
- $x - 3 = -1 - 3 = -4 \Rightarrow (-)$
- $x + 2 = -1 + 2 = 1 \Rightarrow (+)$
- Çarpım: $(-)(-)(+) = (+)$. Bu aralıkta ifade pozitiftir.
- Aralık $(0, 3)$ (Örn: $x = 1$):
- $x = 1 \Rightarrow (+)$
- $x - 3 = 1 - 3 = -2 \Rightarrow (-)$
- $x + 2 = 1 + 2 = 3 \Rightarrow (+)$
- Çarpım: $(+)(-)(+) = (-)$. Bu aralıkta ifade negatiftir.
- Aralık $(3, \infty)$ (Örn: $x = 4$):
- $x = 4 \Rightarrow (+)$
- $x - 3 = 4 - 3 = 1 \Rightarrow (+)$
- $x + 2 = 4 + 2 = 6 \Rightarrow (+)$
- Çarpım: $(+)(+)(+) = (+)$. Bu aralıkta ifade pozitiftir.
- Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme
- Eşitsizliğimiz $x(x - 3)(x + 2) \le 0$ idi. Bu, ifadenin negatif veya sıfır olduğu aralıkları aradığımız anlamına gelir.
- İşaret tablosuna göre, ifadenin negatif olduğu aralıklar $(-\infty, -2)$ ve $(0, 3)$'tür.
- Eşitsizlik "küçük veya eşit" ($\le$) olduğu için, kritik noktaların kendileri de çözüme dahildir. Yani $-2$, $0$ ve $3$ noktaları da çözüm kümesinin bir parçasıdır.
- Bu durumda çözüm kümesi: $(-\infty, -2] \cup [0, 3]$ olarak bulunur. Köşeli parantezler, o noktanın kümeye dahil olduğunu gösterir.
- Adım 4: Sayı Doğrusunda Gösterme
- Çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterirken:
- Dahil olan noktalar (kritik noktalar) dolu daire ile gösterilir. Bu durumda $-2$, $0$ ve $3$ noktaları dolu daire olacaktır.
- Çözüm aralıkları taranır. Yani $(-\infty, -2]$ ve $[0, 3]$ aralıkları taranacaktır.
- Bu tanıma uyan seçenek C'dir.
Cevap C seçeneğidir.
