Bir küpün köşelerinden, bir ayrıt uzunluğunun dörtte biri kadar parçalar kesilerek çıkarılıyor. Oluşan yeni cismin yüzey alanı, orijinal küpün yüzey alanından nasıl etkilenir?
A) Artar
B) Azalır
C) Değişmez
D) Önce artar sonra azalır
Merhaba öğrenciler! Bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Geometrik şekillerle ilgili bu tür soruları çözerken, şeklin yüzey alanının nasıl değiştiğini anlamak çok önemlidir.
- Adım 1: Küpün Yüzey Alanını Anlamak
- Öncelikle, bir küpün 6 tane yüzeyi olduğunu ve her yüzeyinin bir kare olduğunu hatırlayalım. Eğer küpün bir ayrıt uzunluğu $a$ ise, bir yüzeyinin alanı $a^2$ olur. Dolayısıyla, küpün toplam yüzey alanı $6a^2$ olur.
- Adım 2: Köşelerden Kesilen Parçaların Etkisini İncelemek
- Şimdi, küpün köşelerinden küçük küpler kesilerek çıkarıldığında ne olduğuna bakalım. Her köşeden kesilen küpün ayrıt uzunluğu $\frac{a}{4}$ olsun.
- Her bir köşeden bir küp kesildiğinde, o köşedeki küpün 3 yüzeyi kaybolur. Ancak, kesilen bu küpün yerine 3 yeni yüzey oluşur. Bu yeni yüzeylerin her biri, kenar uzunluğu $\frac{a}{4}$ olan bir karedir.
- Dolayısıyla, her bir köşede oluşan 3 yeni yüzeyin toplam alanı $3 \cdot (\frac{a}{4})^2 = 3 \cdot \frac{a^2}{16} = \frac{3a^2}{16}$ olur.
- Adım 3: Toplam Yüzey Alanındaki Değişimi Hesaplamak
- Küpün 8 köşesi olduğundan, toplamda $8 \cdot \frac{3a^2}{16} = \frac{24a^2}{16} = \frac{3a^2}{2}$ kadar yeni yüzey alanı oluşur.
- Orijinal küpün yüzey alanı $6a^2$ idi. Köşeler kesildikten sonra oluşan yeni yüzey alanı $\frac{3a^2}{2}$ kadar arttı.
- Adım 4: Sonucu Değerlendirmek
- Yüzey alanındaki artış pozitif bir değer olduğundan, yeni cismin yüzey alanı orijinal küpün yüzey alanından daha büyüktür. Yani, yüzey alanı artar.
Bu nedenle, doğru cevap A) Artar seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
