Bir küpün içinden, tabanı küpün bir yüzeyinde olan ve tüm yüksekliği küpün içini dolduran bir kare prizma çıkarılıyor. Kare prizmanın yüksekliği küpün bir ayrıtına eşit ve taban ayrıtı küpün ayrıtının yarısıdır.
Küpün bir ayrıtı 10 cm ise, kalan cismin hacmi kaç cm³'tür?
A) 250
B) 500
C) 750
D) 900
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir küpten bir kare prizma çıkarıldığında geriye kalan cismin hacmini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu sorunu çözelim:
- 1. Küpün Hacmini Hesaplayalım:
- Öncelikle, başlangıçtaki büyük cisim olan küpün hacmini bulmalıyız.
- Küpün bir ayrıtı $10 \text{ cm}$ olarak verilmiş.
- Küpün hacim formülü: $V_{küp} = \text{ayrıt}^3$
- $V_{küp} = 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 \text{ cm}^3$.
- Bu, başlangıçtaki toplam hacmimizdir.
- 2. Çıkarılan Kare Prizmanın Boyutlarını Belirleyelim:
- Şimdi küpün içinden çıkarılan kare prizmanın boyutlarını bulalım.
- Kare prizmanın yüksekliği, küpün bir ayrıtına eşitmiş. Yani, $h_{prizma} = 10 \text{ cm}$.
- Kare prizmanın taban ayrıtı, küpün ayrıtının yarısıymış. Yani, $a_{prizma\_taban} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$.
- 3. Çıkarılan Kare Prizmanın Hacmini Hesaplayalım:
- Kare prizmanın hacim formülü: $V_{prizma} = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}$
- Kare prizmanın tabanı bir kare olduğu için, taban alanı: $\text{Taban Alanı} = a_{prizma\_taban}^2 = 5^2 = 25 \text{ cm}^2$.
- Şimdi prizmanın hacmini hesaplayalım: $V_{prizma} = 25 \text{ cm}^2 \times 10 \text{ cm} = 250 \text{ cm}^3$.
- Bu, küpten çıkarılan kısmın hacmidir.
- 4. Kalan Cismin Hacmini Hesaplayalım:
- Kalan cismin hacmini bulmak için, küpün toplam hacminden çıkarılan kare prizmanın hacmini çıkarmalıyız.
- $V_{kalan} = V_{küp} - V_{prizma}$
- $V_{kalan} = 1000 \text{ cm}^3 - 250 \text{ cm}^3 = 750 \text{ cm}^3$.
Buna göre, kalan cismin hacmi $750 \text{ cm}^3$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
