Bir ABCD dikdörtgeninin köşe noktaları A(2,1), B(8,1), C(8,5) ve D(2,5) şeklindedir. Köşegenlerin kesişim noktası aşağıdakilerden hangisidir?
A) (4,3)
B) (5,3)
C) (5,4)
D) (4,4)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir dikdörtgenin köşe noktaları verilmiş ve köşegenlerin kesişim noktasını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken, dikdörtgenlerin ve genel olarak paralelkenarların önemli bir özelliğini hatırlamamız gerekir.
- Dikdörtgenlerin Özelliği: Bir dikdörtgenin köşegenleri birbirini ortalar. Yani, köşegenlerin kesişim noktası, her iki köşegenin de tam orta noktasıdır.
- Orta Nokta Formülü: İki nokta $P_1(x_1, y_1)$ ve $P_2(x_2, y_2)$ verildiğinde, bu iki noktanın orta noktasının koordinatları $M(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ formülü ile bulunur.
- Köşegenleri Belirleyelim: ABCD dikdörtgeninin köşeleri A(2,1), B(8,1), C(8,5) ve D(2,5) olarak verilmiş. Dikdörtgenin köşegenleri AC ve BD'dir. Köşegenlerin kesişim noktasını bulmak için bu köşegenlerden herhangi birinin orta noktasını bulmamız yeterlidir. Gelin, AC köşegenini kullanalım.
- A ve C Noktalarının Koordinatları:
- A noktasının koordinatları: $x_1 = 2$, $y_1 = 1$
- C noktasının koordinatları: $x_2 = 8$, $y_2 = 5$
- Orta Nokta Formülünü Uygulayalım:
- x koordinatı için: $\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{2+8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
- y koordinatı için: $\frac{y_1+y_2}{2} = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
- Kesişim Noktası: Buna göre, köşegenlerin kesişim noktası $(5,3)$ olarak bulunur.
- Kontrol (İsteğe Bağlı): İsterseniz diğer köşegen olan BD'nin orta noktasını da bularak sonucunuzu kontrol edebilirsiniz:
- B noktasının koordinatları: $x_1 = 8$, $y_1 = 1$
- D noktasının koordinatları: $x_2 = 2$, $y_2 = 5$
- x koordinatı için: $\frac{8+2}{2} = \frac{10}{2} = 5$
- y koordinatı için: $\frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
- Gördüğünüz gibi, BD köşegeninin orta noktası da $(5,3)$'tür. Bu da sonucumuzun doğru olduğunu gösterir.
Cevap B seçeneğidir.
