Karmaşık sayılarda bölme Test 2

$\frac{3+4i}{1+2i}$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{11}{5}+\frac{2}{5}i$
B) $\frac{11}{5}-\frac{2}{5}i$
C) $\frac{2}{5}+\frac{11}{5}i$
D) $\frac{2}{5}-\frac{11}{5}i$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Karmaşık sayılarla bölme işlemi yaparken temel prensibimiz, paydadaki karmaşık sayıyı reel bir sayıya dönüştürmektir. Bunu yapmanın yolu ise paydanın eşleniği ile hem payı hem de paydayı çarpmaktır. Şimdi adım adım bu işlemi uygulayalım:

• Verilen ifade $\frac{3+4i}{1+2i}$ şeklindedir.
• Öncelikle paydadaki karmaşık sayıya odaklanalım: $1+2i$.
• Bu sayının eşleniği, sanal kısmın işaretini değiştirerek bulunur. Yani $1+2i$ sayısının eşleniği $1-2i$'dir.
• Şimdi, kesrin değerini değiştirmemek için hem payı hem de paydayı paydanın eşleniği olan $1-2i$ ile çarpalım:

  $\frac{3+4i}{1+2i} \times \frac{1-2i}{1-2i}$

• Önce pay kısmını çarpalım: $(3+4i)(1-2i)$.
  • $3 \times 1 = 3$
  • $3 \times (-2i) = -6i$
  • $4i \times 1 = 4i$
  • $4i \times (-2i) = -8i^2$
  • Bu terimleri bir araya getirirsek: $3 - 6i + 4i - 8i^2$
  • $i^2 = -1$ olduğunu biliyoruz. Bu değeri yerine koyalım: $3 - 2i - 8(-1)$
  • Pay kısmı: $3 - 2i + 8 = 11 - 2i$
• Şimdi de payda kısmını çarpalım: $(1+2i)(1-2i)$.
  • Bu ifade $(a+bi)(a-bi)$ şeklinde olduğu için sonucu $a^2+b^2$ olarak bulabiliriz. Burada $a=1$ ve $b=2$'dir.
  • Payda kısmı: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
• Son olarak, bulduğumuz pay ve payda değerlerini birleştirelim:

  $\frac{11-2i}{5}$

• Bu ifadeyi standart $a+bi$ formunda yazmak için reel ve sanal kısımları ayıralım:

  $\frac{11}{5} - \frac{2}{5}i$

Bu sonuç, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.