Bu soru, bir kümenin eleman sayısını ve türünü anlamamızı istiyor. Verilen küme $F = \{x \mid x \text{ gerçek sayı ve } 0 < x < 1\}$ şeklinde tanımlanmıştır. Şimdi bu tanımı adım adım inceleyelim:
- Küme Tanımı: Küme $F$, $x$ elemanlarından oluşur. Bu $x$ elemanları için iki koşul vardır: $x$ bir gerçek sayıdır ve $x$, $0$'dan büyük ve $1$'den küçüktür ($0 < x < 1$ aralığındadır). Gerçek sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir; yani sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları kapsar.
- Gerçek Sayılar ve Aralıklar: Gerçek sayılar kümesi, sayı doğrusu üzerinde kesintisiz bir çizgi oluşturur. Herhangi iki farklı gerçek sayı arasında sonsuz sayıda başka gerçek sayı bulunur. Örneğin, $0.1$ ve $0.2$ arasında $0.15$, $0.11$, $0.101$ gibi sonsuz sayıda gerçek sayı vardır. Bu, gerçek sayıların "yoğunluk" özelliğidir.
- Seçeneklerin Değerlendirilmesi: Şimdi verilen seçenekleri bu bilgiler ışığında inceleyelim.
- A) Boş kümedir: Bu küme boş değildir. Örneğin, $0.5$ bir gerçek sayıdır ve $0 < 0.5 < 1$ koşulunu sağlar. Dolayısıyla $0.5 \in F$'dir. Bu yüzden A seçeneği yanlıştır.
- B) Sonlu kümedir: $0$ ile $1$ arasında sonsuz sayıda gerçek sayı vardır. Örneğin, $0.1, 0.01, 0.001, 0.5, 0.25, 0.333...$ (yani $1/3$), $1/\sqrt{2}$ gibi sayılar bu aralıktadır. Gerçek sayıların yoğunluk özelliği nedeniyle, bu aralıktaki elemanları tek tek sayıp bitiremeyiz. Bu yüzden B seçeneği yanlıştır.
- D) 1 elemanlıdır: Kümenin birden fazla elemanı olduğunu zaten gördük ($0.5$, $0.25$ gibi). Bu yüzden D seçeneği yanlıştır.
- C) Sonsuz kümedir: Yukarıda da belirtildiği gibi, gerçek sayılar kümesinin yoğunluk özelliğinden dolayı, herhangi bir açık aralık (tıpkı $(0, 1)$ aralığı gibi) sonsuz sayıda gerçek sayı içerir. $0$ ile $1$ arasında sayamayacağımız kadar çok (sonsuz) gerçek sayı vardır. Bu yüzden C seçeneği doğrudur.
Cevap C seçeneğidir.
