Karmaşık sayılarla işlem yaparken \( i^2 = -1 \) kuralı unutulmamalıdır. \( (5 - 2i) - (3 + 4i) + (-1 + 3i) \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( 1 - 3i \)Karmaşık sayılarla yapılan işlemlerde dikkatli olmak ve adımları doğru takip etmek çok önemlidir. Özellikle çıkarma işlemlerinde işaretlere dikkat etmeliyiz. Şimdi bu soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim:
Verilen ifadeyi daha rahat işlem yapabilmek için parantezleri açarak yazalım. İkinci parantezin önündeki eksi işaretini ($ - $) dağıtmayı unutmayın. Bu, parantez içindeki her terimin işaretini değiştirecektir. Üçüncü parantezin önünde artı işareti ($ + $) olduğu için içindeki terimlerin işaretleri değişmez.
İfade: $ (5 - 2i) - (3 + 4i) + (-1 + 3i) $
Parantezleri açtığımızda:
$ 5 - 2i - 3 - 4i - 1 + 3i $
Karmaşık sayılarla toplama ve çıkarma yaparken, gerçek kısımları (yani $i$ içermeyen sayıları) kendi aralarında, sanal kısımları (yani $i$ içeren terimleri) kendi aralarında toplar veya çıkarırız. Şimdi terimleri gruplandıralım:
Gerçek Kısımlar: $ 5 - 3 - 1 $
Sanal Kısımlar: $ -2i - 4i + 3i $
Gerçek kısımları kendi aralarında toplayıp çıkaralım:
$ 5 - 3 - 1 = 2 - 1 = 1 $
Böylece sonucun gerçek kısmı $1$ oldu.
Sanal kısımları kendi aralarında toplayıp çıkaralım. $i$ terimini bir çarpan gibi düşünebiliriz:
$ -2i - 4i + 3i = (-2 - 4 + 3)i $
$ (-6 + 3)i = -3i $
Böylece sonucun sanal kısmı $ -3i $ oldu.
Şimdi bulduğumuz gerçek ve sanal kısımları bir araya getirerek karmaşık sayıyı oluşturalım:
Gerçek Kısım + Sanal Kısım = $ 1 + (-3i) = 1 - 3i $
Bu durumda, işlemin sonucu $ 1 - 3i $ olarak bulunur.
Seçeneklere baktığımızda, bu sonuç A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
