Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma Test 2

\( z_1 = a + bi \) ve \( z_2 = c + di \) olmak üzere, \( z_1 + z_2 = 7 - 2i \) ve \( z_1 - z_2 = 1 + 6i \) ise \( z_1 \) karmaşık sayısı nedir?

A) \( 4 + 2i \)
B) \( 3 - 4i \)
C) \( 8 + 4i \)
D) \( 4 - 4i \)

Bu problemde, karmaşık sayılarla ilgili temel toplama ve çıkarma işlemlerini kullanarak bir bilinmeyeni bulacağız. Karmaşık sayılar, reel ve imajiner kısımlardan oluşan sayılardır ve bu tür denklemleri çözmek için cebirsel yöntemleri kullanabiliriz.

• Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım

• Bize iki tane karmaşık sayı, $z_1$ ve $z_2$ verilmiş. Bu sayılar hakkında iki denklemimiz var:

  Birinci denklem: $z_1 + z_2 = 7 - 2i$

  İkinci denklem: $z_1 - z_2 = 1 + 6i$

  Amacımız, $z_1$ karmaşık sayısını bulmaktır.

• Adım 2: Denklemleri Bir Sistem Olarak Düşünelim

• Bu iki denklem, aslında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi gibidir. Bilinmeyenlerimiz $z_1$ ve $z_2$ karmaşık sayılarıdır. Bu tür sistemleri çözmek için genellikle toplama (yok etme) veya yerine koyma yöntemlerini kullanırız.

  Denklemlerimizi alt alta yazalım:

  $(1) \quad z_1 + z_2 = 7 - 2i$

  $(2) \quad z_1 - z_2 = 1 + 6i$

• Adım 3: Yok Etme Yöntemini Kullanalım

• Dikkat ederseniz, birinci denklemde $+z_2$ varken, ikinci denklemde $-z_2$ var. Eğer bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak, $z_2$ terimleri birbirini götürecektir. Bu, $z_1$'i doğrudan bulmamızı sağlayacak pratik bir yöntemdir.

  Denklemleri taraf tarafa toplayalım:

  $(z_1 + z_2) + (z_1 - z_2) = (7 - 2i) + (1 + 6i)$

• Adım 4: $z_1$'i Bulmak İçin İşlemleri Yapalım

• Şimdi denklemin sol tarafını ve sağ tarafını ayrı ayrı düzenleyelim:

  Sol taraf: $z_1 + z_2 + z_1 - z_2 = 2z_1$ (Burada $+z_2$ ve $-z_2$ birbirini götürdü.)

  Sağ taraf: $(7 - 2i) + (1 + 6i)$

  Karmaşık sayıları toplarken, reel kısımları kendi aralarında, imajiner kısımları kendi aralarında toplarız:

  Reel kısımlar: $7 + 1 = 8$

  İmajiner kısımlar: $-2i + 6i = 4i$

  Yani, sağ taraf $8 + 4i$ olur.

  Denklemimiz şimdi şu hale geldi:

  $2z_1 = 8 + 4i$

• Adım 5: $z_1$'i Yalnız Bırakalım

• $z_1$'i bulmak için denklemin her iki tarafını $2$'ye bölmemiz gerekiyor:

  $z_1 = \frac{8 + 4i}{2}$

  Bir karmaşık sayıyı bir reel sayıya bölerken, hem reel kısmı hem de imajiner kısmı bu sayıya böleriz:

  $z_1 = \frac{8}{2} + \frac{4i}{2}$

  $z_1 = 4 + 2i$

• Adım 6: Cevabı Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı)

• Eğer $z_1 = 4 + 2i$ ise, $z_2$'yi de bulabiliriz. Örneğin, birinci denklemde yerine koyalım:

  $(4 + 2i) + z_2 = 7 - 2i$

  $z_2 = (7 - 2i) - (4 + 2i)$

  $z_2 = (7 - 4) + (-2i - 2i)$

  $z_2 = 3 - 4i$

  Şimdi ikinci denklemde $z_1$ ve $z_2$'yi yerine koyarak sağlamasını yapalım:

  $z_1 - z_2 = (4 + 2i) - (3 - 4i)$

  $z_1 - z_2 = (4 - 3) + (2i - (-4i))$

  $z_1 - z_2 = 1 + (2i + 4i)$

  $z_1 - z_2 = 1 + 6i$

  Gördüğümüz gibi, ikinci denklem de sağlandı. Bu da bulduğumuz $z_1$ değerinin doğru olduğunu gösterir.

Bulduğumuz $z_1 = 4 + 2i$ değeri seçeneklere baktığımızda A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.