Bir okulda 10 öğrenci arasından 4 kişilik bir ekip ve bu ekipten bir başkan seçilecektir. Kaç farklı şekilde seçim yapılabilir?
A) 210Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki aşamalı bir seçim yapmamız gerekiyor: önce bir ekip kurmak, sonra bu ekipten bir başkan seçmek. Adım adım ilerleyelim ve bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Elimizde 10 öğrenci var ve bu 10 öğrenci arasından 4 kişilik bir ekip oluşturacağız. Ekipteki öğrencilerin sıralaması önemli olmadığı için bu bir kombinasyon problemidir. Yani, "Ayşe, Burak, Cem, Deniz" ekibi ile "Deniz, Cem, Burak, Ayşe" ekibi aynı ekiptir.
Kombinasyon formülü $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir. Burada $n$ toplam öğrenci sayısı (10) ve $k$ seçilecek öğrenci sayısıdır (4).
Hesaplayalım:
$C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!}$
$C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!}$
$C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$C(10, 4) = \frac{5040}{24}$
$C(10, 4) = 210$
Demek ki, 10 öğrenci arasından 4 kişilik bir ekip 210 farklı şekilde seçilebilir.
Şimdi 4 kişilik ekibimizi kurduk. Bu 4 kişilik ekip içinden bir başkan seçeceğiz. Bu da oldukça basit bir seçimdir. Elimizde 4 kişi var ve bunlardan 1 tanesini başkan olarak seçeceğiz.
Bu da bir kombinasyon olarak düşünülebilir: $C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3!}{1 \times 3!} = 4$.
Yani, 4 kişilik bir ekipten 4 farklı şekilde başkan seçilebilir.
Hem ekibi seçme hem de başkanı seçme işlemleri birbirini takip eden olaylar olduğu için, toplam farklı seçim sayısını bulmak için bu iki adımın sonuçlarını çarpmamız gerekir.
Toplam Seçim Sayısı = (4 kişilik ekip seçme sayısı) $\times$ (Ekip içinden başkan seçme sayısı)
Toplam Seçim Sayısı = $210 \times 4$
Toplam Seçim Sayısı = $840$
Bu durumda, 10 öğrenci arasından 4 kişilik bir ekip ve bu ekipten bir başkan 840 farklı şekilde seçilebilir.
Cevap C seçeneğidir.
