Bir matematik öğretmeni, öğrencilerine a, b ve c gerçel sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgileri vermiştir:
• $a < b < 0$
• $c^2 < c$
Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) $a \cdot b + c < 0$
B) $a / c > b / c$
C) $a+b+c$ toplamı pozitif bir sayıdır.
D) $b^2 < a \cdot c$
E) $a \cdot c + b \cdot c < 0$
Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen bilgileri dikkatlice inceleyelim ve her bir seçeneği tek tek değerlendirelim.
- Verilen Bilgiler:
- $a < b < 0$: Bu, $a$ ve $b$'nin negatif sayılar olduğunu ve $a$'nın $b$'den daha küçük (daha negatif) olduğunu gösterir. Örneğin, $a = -3$ ve $b = -1$ olabilir.
- $c^2 < c$: Bu eşitsizlik, $c$'nin 0 ile 1 arasında bir sayı olduğunu gösterir. Çünkü bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı basit kesirdir. Örneğin, $c = \frac{1}{2}$ olabilir.
- Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
- A) $a \cdot b + c < 0$: $a$ ve $b$ negatif olduğundan, $a \cdot b$ pozitiftir. $c$ de pozitif olduğundan, $a \cdot b + c$ toplamı kesinlikle negatif olmak zorunda değildir. Örneğin, $a = -3$, $b = -1$ ve $c = \frac{1}{2}$ ise, $a \cdot b + c = (-3) \cdot (-1) + \frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} > 0$ olur. Bu nedenle bu ifade kesin doğru değildir.
- B) $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$: $c$ pozitif bir sayı olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafını $c$ ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirmez. Yani, $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ ise $a > b$ olmalıdır. Ancak bize $a < b$ olduğu verilmiş. Bu nedenle bu ifade kesinlikle yanlıştır.
- C) $a+b+c$ toplamı pozitif bir sayıdır: $a$ ve $b$ negatif, $c$ ise pozitif bir sayıdır. Ancak $a$ ve $b$'nin mutlak değerleri $c$'den büyük olabilir. Örneğin, $a = -3$, $b = -1$ ve $c = \frac{1}{2}$ ise, $a + b + c = -3 - 1 + \frac{1}{2} = -4 + \frac{1}{2} = -\frac{7}{2} < 0$ olur. Bu nedenle bu ifade kesin doğru değildir.
- D) $b^2 < a \cdot c$: $b^2$ her zaman pozitiftir. $a$ negatif ve $c$ pozitif olduğundan, $a \cdot c$ negatiftir. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan küçük olamaz. Bu nedenle bu ifade kesinlikle yanlıştır.
- E) $a \cdot c + b \cdot c < 0$: Bu ifadeyi $c(a+b) < 0$ şeklinde yazabiliriz. $c$ pozitif bir sayı olduğundan, eşitsizliğin sağlanması için $a+b < 0$ olmalıdır. Bize $a < b < 0$ olduğu verilmiş, yani $a$ ve $b$ negatif sayılardır. İki negatif sayının toplamı da negatiftir. Bu nedenle $a+b < 0$ ifadesi doğrudur ve dolayısıyla $c(a+b) < 0$ ifadesi de doğrudur.
Bu değerlendirmeler sonucunda, kesinlikle doğru olan ifade E seçeneğidir.
Cevap E seçeneğidir.
