Olasılık nedir Test 1

Bir torbada 4 beyaz, 3 siyah top vardır. Geri konulmamak şartıyla art arda çekilen iki topun da beyaz olma olasılığı kaçtır?

A) 1/7
B) 2/7
C) 4/7
D) 16/49

Bu soruda, bir torbadan art arda çekilen iki topun da belirli bir renkte olma olasılığını hesaplayacağız. Bu tür soruları çözerken, her adımda torbadaki top sayılarının nasıl değiştiğine dikkat etmek çok önemlidir. Hadi adım adım çözelim:

• Adım 1: Torbadaki Topların Durumunu Belirleyelim

Başlangıçta torbada toplam kaç top var ve bunların kaçı beyaz, kaçı siyah, bunu netleştirelim:

Beyaz top sayısı: $4$
Siyah top sayısı: $3$
Toplam top sayısı: $4 + 3 = 7$

• Adım 2: İlk Çekilen Topun Beyaz Olma Olasılığını Hesaplayalım

Torbadan ilk topu çektiğimizde, bu topun beyaz olma olasılığını bulalım:

İstenen durum (beyaz top sayısı): $4$
Tüm olası durumlar (toplam top sayısı): $7$
İlk topun beyaz olma olasılığı: $P(\text{1. Beyaz}) = \frac{\text{Beyaz Top Sayısı}}{\text{Toplam Top Sayısı}} = \frac{4}{7}$

• Adım 3: İlk Top Çekildikten Sonra Torbadaki Durumu Güncelleyelim

Soruda "geri konulmamak şartıyla" ifadesi çok önemli. İlk topu beyaz çektiğimiz ve geri koymadığımız için torbadaki top sayıları değişecektir:

Torbadaki beyaz top sayısı: $4 - 1 = 3$ (Çünkü bir beyaz top çektik ve geri koymadık)
Torbadaki siyah top sayısı: $3$ (Siyah top çekilmediği için değişmedi)
Torbadaki toplam top sayısı: $7 - 1 = 6$ (Bir top eksildi)

• Adım 4: İkinci Çekilen Topun Beyaz Olma Olasılığını Hesaplayalım (İlk Topun Beyaz Olduğu Bilinerek)

Şimdi torbada kalan $6$ toptan ikinci topu çekiyoruz. Bu topun da beyaz olma olasılığını, güncel duruma göre hesaplayalım:

İstenen durum (kalan beyaz top sayısı): $3$
Tüm olası durumlar (kalan toplam top sayısı): $6$
İkinci topun beyaz olma olasılığı: $P(\text{2. Beyaz | 1. Beyaz}) = \frac{\text{Kalan Beyaz Top Sayısı}}{\text{Kalan Toplam Top Sayısı}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

• Adım 5: Her İki Topun da Beyaz Olma Olasılığını Hesaplayalım

İki olayın da art arda gerçekleşme olasılığını bulmak için, bu iki olayın olasılıklarını çarparız:

$P(\text{İki Top da Beyaz}) = P(\text{1. Beyaz}) \times P(\text{2. Beyaz | 1. Beyaz})$
$P(\text{İki Top da Beyaz}) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6}$
$P(\text{İki Top da Beyaz}) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2}$ (Sadeleştirme yaptık: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$)
$P(\text{İki Top da Beyaz}) = \frac{4 \times 1}{7 \times 2}$
$P(\text{İki Top da Beyaz}) = \frac{4}{14}$
$P(\text{İki Top da Beyaz}) = \frac{2}{7}$ (Kesri sadeleştirdik: her iki tarafı $2$'ye böldük)

Bu durumda, art arda çekilen iki topun da beyaz olma olasılığı $\frac{2}{7}$'dir.

Cevap B seçeneğidir.