Bir sayının 10 ile bölümünden kalan 3'tür. Bu sayının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0Bu tür soruları çözerken, verilen bilgiyi matematiksel olarak ifade etmek ve ardından istenen durumu incelemek en doğru yoldur. Adım adım ilerleyelim:
Bir sayının 10 ile bölümünden kalan 3 ise, bu sayıyı $N$ olarak kabul edersek, $N$'yi şu şekilde yazabiliriz:
$N = 10k + 3$
Burada $k$ bir tam sayıdır ve bölümü temsil eder. Örneğin, $k=0$ için $N=3$, $k=1$ için $N=13$, $k=2$ için $N=23$ gibi sayılar bu koşulu sağlar.
Bizden bu $N$ sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. Yani, $N \pmod{5}$ değerini bulmalıyız.
Sayımız $N = 10k + 3$ idi. Şimdi bu sayının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için her bir terimi ayrı ayrı inceleyelim:
Öncelikle $10k$ terimini ele alalım. $10$, 5'in tam katı olduğu için ($10 = 5 \times 2$), $10k$ ifadesi de her zaman 5'in tam katı olacaktır. Bu durumda, $10k$'nın 5 ile bölümünden kalan 0'dır.
Yani, $10k \pmod{5} = 0$.
Şimdi de $3$ terimini ele alalım. $3$'ün 5 ile bölümünden kalan $3$'tür.
Yani, $3 \pmod{5} = 3$.
Bu iki kalanı birleştirirsek:
$(10k + 3) \pmod{5} = (0 + 3) \pmod{5} = 3 \pmod{5}$
Sonuç olarak, bu sayının 5 ile bölümünden kalan 3'tür.
Bir sayının 10 ile bölümünden kalan 3 ise, bu sayı $3, 13, 23, 33, \dots$ gibi sayılar olabilir.
Şimdi bu sayılardan birkaçını 5 ile bölelim:
Sayımız $3$ ise: $3 = 5 \times 0 + 3$. Kalan $3$.
Sayımız $13$ ise: $13 = 5 \times 2 + 3$. Kalan $3$.
Sayımız $23$ ise: $23 = 5 \times 4 + 3$. Kalan $3$.
Gördüğümüz gibi, her durumda kalan $3$ olmaktadır.
Cevap D seçeneğidir.
