arcsin(1/2) + arcsin(√3/2) ifadesinin değeri kaç radyandır?
A) π/6Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek trigonometrik fonksiyonların terslerini nasıl kullanacağımızı ve açıları nasıl toplayacağımızı görelim.
$\arcsin(x)$ ifadesi, sinüsü $x$ olan açıyı (radyan cinsinden) temsil eder. Bu açının genellikle $[-\pi/2, \pi/2]$ aralığında olması beklenir. Bu aralık, $\arcsin$ fonksiyonunun tanım aralığıdır.
Bize $\arcsin(1/2)$ soruluyor. Yani, sinüsü $1/2$ olan açıyı bulmalıyız. Birim çemberi veya özel $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ üçgenini düşündüğümüzde, sinüsü $1/2$ olan açı $30^\circ$'dir. Radyan cinsinden bu açı $\pi/6$'ya eşittir.
Bu durumda, $\arcsin(1/2) = \pi/6$ olur.
Şimdi de $\arcsin(\sqrt{3}/2)$ ifadesinin değerini bulalım. Yine, sinüsü $\sqrt{3}/2$ olan açıyı arıyoruz. Bu açı da $[-\pi/2, \pi/2]$ aralığında olmalıdır.
Sinüsü $\sqrt{3}/2$ olan açı $60^\circ$'dir. Radyan cinsinden bu açı $\pi/3$'e eşittir.
Bu durumda, $\arcsin(\sqrt{3}/2) = \pi/3$ olur.
Soruda bizden $\arcsin(1/2) + \arcsin(\sqrt{3}/2)$ ifadesinin değeri isteniyor. Adım 1 ve Adım 2'de bulduğumuz değerleri yerine koyalım:
$\arcsin(1/2) + \arcsin(\sqrt{3}/2) = \pi/6 + \pi/3$
Şimdi bu iki radyan cinsinden açıyı toplamamız gerekiyor. Kesirleri toplamak için paydaları eşitleyelim. $\pi/3$ ifadesini paydası $6$ olacak şekilde genişletelim:
$\pi/3 = (2 \times \pi)/(2 \times 3) = 2\pi/6$
Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:
$\pi/6 + 2\pi/6 = (1\pi + 2\pi)/6 = 3\pi/6$
Bu ifadeyi sadeleştirelim. Pay ve paydayı $3$ ile bölebiliriz:
$3\pi/6 = \pi/2$
Sonuç olarak, $\arcsin(1/2) + \arcsin(\sqrt{3}/2)$ ifadesinin değeri $\pi/2$ radyandır.
Cevap C seçeneğidir.
