Bir mühendis, 20 metre yüksekliğindeki bir binanın tepesinden yere doğru 25 metre uzunluğunda bir rampa inşa ediyor. Rampanın yatayla yaptığı açının ark sinüs değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) arcsin(3/5)Sevgili öğrenciler, bu problemde bir dik üçgenin temel trigonometrik oranlarını kullanarak bir açının sinüs değerini bulmamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
Bir bina, bir rampa ve yer düzlemi bir araya geldiğinde bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin kenarları şunlardır:
Binanın yüksekliği: Bu, rampanın yatayla yaptığı açıya göre karşı kenardır. Verilen değer $20$ metredir.
Rampanın uzunluğu: Bu, dik üçgenin hipotenüsüdür. Verilen değer $25$ metredir.
Rampanın yerdeki başlangıç noktasından binaya olan uzaklık: Bu, rampanın yatayla yaptığı açıya göre komşu kenardır. Bu değeri şu an için doğrudan kullanmamıza gerek yok, ancak Pisagor teoremi ile bulunabilir ($a^2 + b^2 = c^2$).
Rampanın yatayla yaptığı açıyı $\theta$ (teta) olarak adlandıralım.
Bize karşı kenar (binanın yüksekliği) ve hipotenüs (rampanın uzunluğu) verildiği için, bu iki kenarı kullanan trigonometrik oran sinüs ($\sin$) fonksiyonudur.
Sinüs fonksiyonunun tanımı şöyledir:
$\sin(\theta) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$
Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
$\sin(\theta) = \frac{20 \text{ metre}}{25 \text{ metre}}$
Elde ettiğimiz kesri sadeleştirelim. Hem pay hem de payda $5$ ile bölünebilir:
$\sin(\theta) = \frac{20 \div 5}{25 \div 5} = \frac{4}{5}$
Soruda bizden rampanın yatayla yaptığı açının ark sinüs değeri isteniyor. Ark sinüs (veya $\arcsin$) fonksiyonu, bir sinüs değeri verildiğinde o açıyı bulmamızı sağlayan ters trigonometrik fonksiyondur.
Eğer $\sin(\theta) = \frac{4}{5}$ ise, o zaman $\theta = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right)$ olur.
Sorunun istediği tam olarak bu ifadedir: $\arcsin\left(\frac{4}{5}\right)$.
Bu durumda, doğru seçenek B'dir.
Cevap B seçeneğidir.
