Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek trigonometrik fonksiyonların terslerini nasıl kullanacağımızı öğrenelim.
- Öncelikle, parantez içindeki ifadeyi, yani $\cos(2\pi/3)$ değerini hesaplayarak başlayalım.
- $2\pi/3$ radyan, birim çemberde ikinci bölgede yer alan bir açıdır. Bu açının esas ölçüsü $120^\circ$'dir.
- İkinci bölgede kosinüs değeri negatiftir. $2\pi/3$ açısının referans açısı (x ekseni ile yaptığı dar açı) $\pi - 2\pi/3 = \pi/3$'tür.
- Bu durumda, $\cos(2\pi/3) = -\cos(\pi/3)$ olur.
- $\cos(\pi/3)$ değerinin $1/2$ olduğunu biliyoruz.
- Öyleyse, $\cos(2\pi/3) = -1/2$'dir.
- Şimdi bu değeri ana ifadeye yerine yazalım: $\arcsin(\cos(2\pi/3)) = \arcsin(-1/2)$.
- $\arcsin(-1/2)$ ifadesi, sinüsü $-1/2$ olan açıyı bulmamız gerektiği anlamına gelir. Ancak, $\arcsin$ fonksiyonunun tanım aralığı $[-\pi/2, \pi/2]$ (veya $[-90^\circ, 90^\circ]$) olduğunu unutmamalıyız.
- Bu aralıkta, sinüsü pozitif olan açılar birinci bölgede, sinüsü negatif olan açılar ise dördüncü bölgede yer alır.
- Sinüsü $1/2$ olan açı $\pi/6$ (veya $30^\circ$)'dir.
- Sinüsü $-1/2$ olan açı ise, $\arcsin$ fonksiyonunun tanım aralığı göz önüne alındığında, $-\pi/6$ (veya $-30^\circ$)'dir. Çünkü $\sin(-\pi/6) = -\sin(\pi/6) = -1/2$ ve $-\pi/6$ değeri $[-\pi/2, \pi/2]$ aralığındadır.
- Bu nedenle, $\arcsin(-1/2) = -\pi/6$'dır.
Cevap A seçeneğidir.
