Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali ve pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı verilmiş. Bizden $a \times b$ çarpımını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı Formülünü Hatırlayalım
- Bir doğal sayı, asal çarpanlarına $N = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \dots \times p_n^{k_n}$ şeklinde ayrıldığında, bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, asal çarpanların üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir. Yani, bölen sayısı $ (k_1+1)(k_2+1)\dots(k_n+1) $ formülü ile bulunur.
- Soruda verilen sayı $ 2^a \times 3^b \times 5 $ şeklindedir. Burada asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir. Bu asal çarpanların üsleri ise sırasıyla $a$, $b$ ve 1'dir (çünkü $5 = 5^1$).
- 2. Adım: Verilen Bilgileri Formülde Yerine Koyalım
- Sayı $ 2^a \times 3^b \times 5^1 $ olduğuna göre, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı $(a+1)(b+1)(1+1)$ olacaktır.
- Soruda bu sayının 24 tane pozitif tam sayı böleni olduğu belirtilmiştir.
- Bu durumda, aşağıdaki denklemi kurabiliriz: $ (a+1)(b+1)(1+1) = 24 $
- 3. Adım: Denklemi Çözelim
- Denklemimizi düzenleyelim: $ (a+1)(b+1)(2) = 24 $
- Denklemin her iki tarafını 2'ye bölelim: $ \frac{(a+1)(b+1)(2)}{2} = \frac{24}{2} $
- Buradan $ (a+1)(b+1) = 12 $ sonucunu elde ederiz.
- 4. Adım: 'a' ve 'b' Değerleri İçin Olasılıkları Bulalım
- $a$ ve $b$ birer doğal sayı ve asal çarpanların üsleri oldukları için en az 1 olmalıdırlar (çünkü $2^a$ ve $3^b$ çarpanları sayının içinde yer almaktadır). Yani $a \ge 1$ ve $b \ge 1$.
- Bu durumda, $a+1 \ge 2$ ve $b+1 \ge 2$ olmalıdır.
- Şimdi, çarpımları 12 olan ve her biri 2'den büyük veya eşit olan tam sayı çiftlerini bulalım:
- Eğer $a+1 = 2$ ise, $b+1 = 6$ olur. Buradan $a=1$ ve $b=5$ bulunur.
- Eğer $a+1 = 3$ ise, $b+1 = 4$ olur. Buradan $a=2$ ve $b=3$ bulunur.
- Eğer $a+1 = 4$ ise, $b+1 = 3$ olur. Buradan $a=3$ ve $b=2$ bulunur.
- Eğer $a+1 = 6$ ise, $b+1 = 2$ olur. Buradan $a=5$ ve $b=1$ bulunur.
- 5. Adım: $a \times b$ Çarpımını Hesaplayalım
- Bulduğumuz her bir $(a,b)$ çifti için $a \times b$ çarpımını hesaplayalım:
- $(a,b) = (1,5)$ için $a \times b = 1 \times 5 = 5$.
- $(a,b) = (2,3)$ için $a \times b = 2 \times 3 = 6$.
- $(a,b) = (3,2)$ için $a \times b = 3 \times 2 = 6$.
- $(a,b) = (5,1)$ için $a \times b = 5 \times 1 = 5$.
- Görüldüğü gibi, $a \times b$ çarpımının alabileceği değerler 5 veya 6'dır. Seçeneklere baktığımızda 6 değeri bulunmaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
