\(\frac{a}{b}\) ve \(\frac{c}{d}\) kesirleri için \(a \times d > b \times c\) ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)
B) \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\)
C) \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
D) \(\frac{c}{d} > \frac{a}{b}\)
Bu soruda, iki kesrin büyüklüğünü karşılaştırmak için verilen bir eşitsizliği kullanacağız. Kesirleri karşılaştırmanın farklı yolları vardır, ancak bu soruda verilen ipucu bize en kolay yolu gösteriyor.
- Öncelikle, karşılaştırmak istediğimiz kesirler $\frac{a}{b}$ ve $\frac{c}{d}$'dir. Bize verilen bilgi ise $a \times d > b \times c$ eşitsizliğidir.
- İki kesri karşılaştırmanın en yaygın yollarından biri, paydalarını eşitlemektir. Paydaları eşitlemek için, birinci kesri diğer kesrin paydasıyla (yani $d$ ile) genişletiriz, ikinci kesri ise birinci kesrin paydasıyla (yani $b$ ile) genişletiriz.
- $\frac{a}{b}$ kesrini $d$ ile genişletirsek, kesrin değeri değişmeden $\frac{a \times d}{b \times d}$ şeklini alır.
- $\frac{c}{d}$ kesrini $b$ ile genişletirsek, kesrin değeri değişmeden $\frac{c \times b}{d \times b}$ şeklini alır.
- Şimdi elimizde paydaları eşit olan iki kesir var: $\frac{a \times d}{b \times d}$ ve $\frac{c \times b}{b \times d}$.
- Paydaları eşit olan kesirleri karşılaştırırken, payı büyük olan kesir daha büyüktür. Burada, kesirlerin paydaları ($b \times d$) genellikle pozitif kabul edilir (çünkü kesirlerde paydaların pozitif olması standart bir varsayımdır). Bu durumda, iki kesri karşılaştırmak için sadece paylarını karşılaştırmamız yeterlidir.
- Bize verilen bilgiye geri dönelim: $a \times d > b \times c$.
- Bu bilgi, genişlettiğimiz kesirlerin payları arasındaki ilişkiyi doğrudan veriyor. Yani, birinci kesrin payı ($a \times d$), ikinci kesrin payından ($b \times c$) daha büyüktür.
- O halde, payları karşılaştırdığımızda $a \times d > c \times b$ olduğu için, kesirler arasında da $\frac{a \times d}{b \times d} > \frac{c \times b}{b \times d}$ eşitsizliği geçerlidir.
- Bu da demektir ki, orijinal kesirlerimiz için $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ ilişkisi kesinlikle doğrudur.
Bu yöntem, kesirleri karşılaştırmak için çapraz çarpım yönteminin temelini oluşturur. Eğer $b$ ve $d$ pozitif sayılar ise, $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ eşitsizliğinin her iki tarafını $b \times d$ ile çarptığımızda $a \times d > c \times b$ eşitsizliğini elde ederiz. Soruda bize bu son eşitsizlik verildiği için, tersten giderek orijinal kesirler arasındaki ilişkiyi bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
