Pay ve payda nedir Test 2

\(\frac{x}{y} = \frac{3}{5}\) olan bir kesrin payına 4 eklenip paydasından 2 çıkarılırsa kesrin değeri \(\frac{7}{8}\) oluyor. Buna göre x + y kaçtır?

A) 16
B) 24
C) 32
D) 40

• Başlangıç Oranını Anlama:

  Soruda verilen ilk bilgi, $\frac{x}{y} = \frac{3}{5}$ olduğudur. Bu ifade, $x$ ve $y$ sayılarının birbirine oranının 3'e 5 olduğunu gösterir. Yani, $x$ sayısı 3'ün bir katı iken, $y$ sayısı 5'in aynı katıdır.

  Bu durumu matematiksel olarak ifade etmek için bir $k$ sabiti kullanırız:

  • $x = 3k$
  • $y = 5k$

  Burada $k$, kesrin gerçek değerlerini bulmamızı sağlayacak bir orantı sabitidir.

• Yeni Kesri Oluşturma:

  Sorunun ikinci kısmında, kesrin payına 4 eklenip paydasından 2 çıkarıldığında yeni bir kesir oluştuğu belirtiliyor. $x$ ve $y$ değerlerini $k$ cinsinden kullanarak bu yeni kesri oluşturalım:

  • Yeni pay: $x + 4 = 3k + 4$
  • Yeni payda: $y - 2 = 5k - 2$

  Bu durumda, yeni kesir $\frac{3k + 4}{5k - 2}$ şeklinde olur.

• Denklemi Kurma ve Çözme:

  Soruda, bu yeni kesrin değerinin $\frac{7}{8}$ olduğu belirtilmiştir. Bu bilgiyi kullanarak bir denklem kurarız:

  $\frac{3k + 4}{5k - 2} = \frac{7}{8}$

  Bu denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yaparız:

  • $8 \times (3k + 4) = 7 \times (5k - 2)$
  • Parantezleri dağıtalım: $24k + 32 = 35k - 14$
  • $k$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
  • $32 + 14 = 35k - 24k$
  • $46 = 11k$
  • $k = \frac{46}{11}$

  Önemli Not: Sorunun orijinal haliyle ($ \frac{7}{8} $ değeriyle) yapılan bu hesaplama sonucunda $k = \frac{46}{11}$ bulunur. Bu durumda $x = 3 \times \frac{46}{11} = \frac{138}{11}$ ve $y = 5 \times \frac{46}{11} = \frac{230}{11}$ olur. $x+y = \frac{138}{11} + \frac{230}{11} = \frac{368}{11}$ çıkar ki bu, seçeneklerdeki tam sayı cevaplarla uyuşmamaktadır. Genellikle bu tür sorularda $k$ değeri bir tam sayı çıkar. Bu durum, sorudaki $\frac{7}{8}$ değerinde bir yazım hatası olabileceğini düşündürmektedir. Eğer kesrin değeri $\frac{8}{9}$ olsaydı, $k$ değeri bir tam sayı çıkacak ve seçeneklerdeki doğru cevaba ulaşılacaktı. Aşağıdaki çözüm, bu varsayımla devam edecektir.

  Varsayılan Düzeltme ile Denklemi Kurma ve Çözme:

  Eğer yeni kesrin değeri $\frac{8}{9}$ olsaydı, denklem şöyle olurdu:

  $\frac{3k + 4}{5k - 2} = \frac{8}{9}$

  İçler dışlar çarpımı yapalım:

  • $9 \times (3k + 4) = 8 \times (5k - 2)$
  • Parantezleri dağıtalım: $27k + 36 = 40k - 16$
  • $k$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
  • $36 + 16 = 40k - 27k$
  • $52 = 13k$
  • Her iki tarafı 13'e bölelim: $k = \frac{52}{13} = 4$
• $x$ ve $y$ Değerlerini Bulma:

  $k = 4$ değerini başlangıçta belirlediğimiz $x = 3k$ ve $y = 5k$ ifadelerinde yerine koyarak $x$ ve $y$ değerlerini bulalım:

  • $x = 3 \times 4 = 12$
  • $y = 5 \times 4 = 20$
• $x + y$ Toplamını Hesaplama:

  Son olarak, bizden istenen $x + y$ toplamını bulalım:

  • $x + y = 12 + 20 = 32$

Cevap C seçeneğidir.