Bir üçgenin x eksenine göre yansıması alındıktan sonra y eksenine göre yansıması alınıyor. Bu dönüşümler sonucunda elde edilen görüntü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Orijinal üçgenin orijine göre yansımasıdır
B) Orijinal üçgenin x=y doğrusuna göre yansımasıdır
C) Orijinal üçgenle aynıdır
D) Orijinal üçgenin 90° döndürülmüş halidir
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir üçgene uygulanan iki ardışık dönüşümün (yansıma) sonucunu inceleyeceğiz. Geometrik dönüşümler, şekillerin konumunu, yönünü veya boyutunu değiştiren işlemlerdir. Adım adım ilerleyerek bu dönüşümlerin etkisini görelim.
-
1. Adım: Başlangıç Noktasını Belirleme
Üçgen üzerindeki herhangi bir noktayı genel olarak $P(x, y)$ şeklinde ifade edelim. Dönüşümleri bu $P(x, y)$ noktası üzerinde uygulayarak, üçgenin tamamının nasıl değiştiğini anlayabiliriz.
-
2. Adım: x Ekseni Üzerine Yansıma
Bir noktanın x eksenine göre yansıması alındığında, noktanın x koordinatı aynı kalır, y koordinatının ise işareti değişir. Yani, $P(x, y)$ noktası $P'(x, -y)$ noktasına dönüşür.
- Dönüşüm kuralı: $(x, y) \rightarrow (x, -y)$
- Örnek: Eğer noktamız $(2, 3)$ ise, x eksenine göre yansıması $(2, -3)$ olur.
-
3. Adım: y Ekseni Üzerine Yansıma (Önceki Görüntü Üzerinden)
Şimdi, x eksenine göre yansıması alınmış olan $P'(x, -y)$ noktasının y eksenine göre yansımasını alacağız. Bir noktanın y eksenine göre yansıması alındığında, noktanın y koordinatı aynı kalır, x koordinatının ise işareti değişir.
- Önceki noktamız: $P'(x, -y)$
- Bu noktanın y eksenine göre yansıması: $P''(-x, -y)$
- Dönüşüm kuralı: $(x', y') \rightarrow (-x', y')$ uygulandığında, $(x, -y) \rightarrow (-x, -y)$ olur.
- Örnek: Eğer önceki noktamız $(2, -3)$ ise, y eksenine göre yansıması $(-2, -3)$ olur.
-
4. Adım: Sonuç Noktasını Değerlendirme
Başlangıçtaki $P(x, y)$ noktamız, iki dönüşüm sonucunda $P''(-x, -y)$ noktasına dönüştü. Şimdi bu sonucu seçeneklerle karşılaştıralım.
-
5. Adım: Seçenekleri İnceleme
- A) Orijinal üçgenin orijine göre yansımasıdır: Bir noktanın orijine (başlangıç noktasına) göre yansıması alındığında, hem x hem de y koordinatlarının işaretleri değişir. Yani, $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$ olur. Bu, bizim elde ettiğimiz $P''(-x, -y)$ noktası ile tamamen aynıdır.
- B) Orijinal üçgenin $x=y$ doğrusuna göre yansımasıdır: Bir noktanın $x=y$ doğrusuna göre yansıması alındığında, x ve y koordinatları yer değiştirir. Yani, $(x, y) \rightarrow (y, x)$ olur. Bu, bizim sonucumuzla uyuşmuyor.
- C) Orijinal üçgenle aynıdır: Eğer orijinal üçgenle aynı olsaydı, $P(x, y)$ noktası yine $P(x, y)$ olarak kalırdı. Bu, bizim sonucumuzla uyuşmuyor.
- D) Orijinal üçgenin 90° döndürülmüş halidir: Orijin etrafında 90° saat yönünün tersine döndürme $(x, y) \rightarrow (-y, x)$ veya saat yönünde döndürme $(x, y) \rightarrow (y, -x)$ şeklinde olur. Bu da bizim sonucumuzla uyuşmuyor.
Görüldüğü gibi, bir üçgenin önce x eksenine, ardından y eksenine göre yansıması alındığında, elde edilen görüntü orijinal üçgenin orijine göre yansımasıyla aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
