Polinom olma şartı ile ilgili sorular Test 2

\(T(x) = \frac{(m-1)x^3 + 2x^n - 5}{x^2 + 1}\) ifadesinin bir polinom olması için aşağıdakilerden hangisi doğru olmalıdır?

A) \(m = 1\) ve \(n \geq 2\)
B) \(m \in \mathbb{R}\) ve \(n \geq 2\)
C) Paydanın derecesi payın derecesinden küçük olmalı
D) Payın derecesi paydanın derecesine eşit veya büyük olmalı

• Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenlerin üsleri daima negatif olmayan tam sayılar olmalıdır. Ayrıca, bir kesirli ifade ($T(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$) bir polinom ise, paydaki polinomun ($P(x)$) paydadaki polinoma ($Q(x)$) tam olarak bölünmesi gerekir. Yani, $P(x) = Q(x) \cdot K(x)$ şeklinde yazılabilmelidir, burada $K(x)$ de bir polinomdur.
• Polinomların dereceleri arasındaki ilişkiye göre, eğer $P(x) = Q(x) \cdot K(x)$ ise, o zaman $\text{derece}(P(x)) = \text{derece}(Q(x)) + \text{derece}(K(x))$ olur.
• $K(x)$ bir polinom olduğu için, $\text{derece}(K(x))$ negatif olmayan bir tam sayı olmalıdır (yani $\text{derece}(K(x)) \geq 0$). Bu durum, $K(x)$'in sıfır polinomu olmadığı varsayımıyla geçerlidir. Eğer $K(x)$ sıfır polinomu ise, $P(x)$ de sıfır polinomu olur ve $T(x)=0$ bir polinomdur. Bu durumda $\text{derece}(P(x)) = -\infty$ kabul edilir ki bu da $\text{derece}(Q(x))$'ten küçüktür. Ancak seçenekler genel bir derece karşılaştırması sorduğu için, $T(x)$'in sıfır polinomu olmadığı durumu göz önünde bulundururuz.
• Bu durumda, $\text{derece}(P(x)) \geq \text{derece}(Q(x))$ olmak zorundadır. Yani, payın derecesi paydanın derecesine eşit veya ondan büyük olmalıdır. Eğer payın derecesi paydanın derecesinden küçük olursa (ve $P(x)$ sıfır polinomu değilse), bölme işlemi sonucunda bir polinom elde edilemez.
• Şimdi verilen ifadeyi inceleyelim: $T(x) = \frac{(m-1)x^3 + 2x^n - 5}{x^2 + 1}$.
  • Paydaki polinom $P(x) = (m-1)x^3 + 2x^n - 5$ ve paydadaki polinom $Q(x) = x^2 + 1$'dir.
  • Paydanın derecesi $\text{derece}(Q(x)) = 2$'dir.
  • Paydaki $P(x)$'in bir polinom olabilmesi için $n$ bir negatif olmayan tam sayı olmalıdır ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).
  • Payın derecesi $\text{derece}(P(x))$ ise $m$'ye ve $n$'ye bağlıdır:
    • Eğer $m-1 \neq 0$ (yani $m \neq 1$) ise, $x^3$ terimi mevcuttur. Bu durumda $\text{derece}(P(x)) = \max(3, n)$ olur.
    • Eğer $m-1 = 0$ (yani $m = 1$) ise, $x^3$ terimi kaybolur ve $P(x) = 2x^n - 5$ olur. Bu durumda $\text{derece}(P(x)) = n$ olur.
• Seçenekleri değerlendirelim:
  • A) $m = 1$ ve $n \geq 2$: Bu koşullar altında $\text{derece}(P(x)) = n \geq 2$ olur. Yani $\text{derece}(P(x)) \geq \text{derece}(Q(x))$ sağlanır. Ancak bu, $T(x)$'in bir polinom olmasını garanti etmez. Örneğin, $m=1$ ve $n=2$ için $T(x) = \frac{2x^2 - 5}{x^2 + 1} = 2 - \frac{7}{x^2 + 1}$ bir polinom değildir. Ayrıca, bu koşul $T(x)$'in bir polinom olması için gerekli değildir. Örneğin, $T(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1} = x$ bir polinomdur, ancak burada $m=2$ ve $n=0$ olduğu için A seçeneği doğru değildir.
  • B) $m \in \mathbb{R}$ ve $n \geq 2$: Bu da A seçeneği gibi, $T(x)$'in bir polinom olması için gerekli veya yeterli bir koşul değildir.
  • C) Paydanın derecesi payın derecesinden küçük olmalı: Bu ifade $\text{derece}(Q(x)) < \text{derece}(P(x))$ anlamına gelir. Ancak dereceler eşit de olabilir. Örneğin, $T(x) = \frac{2x^2 + 2}{x^2 + 1} = 2$ bir polinomdur ve burada $\text{derece}(P(x)) = 2$ ve $\text{derece}(Q(x)) = 2$'dir. Yani dereceler eşittir, paydanın derecesi payın derecesinden küçük değildir. Bu nedenle C seçeneği yanlıştır.
  • D) Payın derecesi paydanın derecesine eşit veya büyük olmalı: Bu ifade $\text{derece}(P(x)) \geq \text{derece}(Q(x))$ anlamına gelir. Yukarıda açıkladığımız gibi, bir kesirli ifadenin polinom olabilmesi için bu koşul temel bir gerekliliktir (sıfır polinomu durumu hariç). Eğer bu koşul sağlanmazsa, ifade bir polinom olamaz. Bu nedenle, bu koşul doğru olmalıdır.

Cevap D seçeneğidir.