f(x) = ln(x² - 4x + 5) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-∞, 2)Fonksiyonların azalan olduğu aralıkları bulmak, türev alma kurallarını ve eşitsizlik çözme becerimizi birleştiren harika bir konudur. Gelin, bu soruyu adım adım çözelim.
Bir $f(x) = \ln(g(x))$ fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritmanın içindeki ifadenin pozitif olması gerekir. Yani, $x^2 - 4x + 5 > 0$ olmalıdır.
Bu ikinci dereceden denklemin diskriminantına ($\Delta$) bakalım: $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$.
Diskriminant negatif ($\Delta < 0$) ve baş katsayı (1) pozitif olduğu için, $x^2 - 4x + 5$ ifadesi her zaman pozitiftir. Bu durumda, fonksiyon tüm gerçel sayılar için tanımlıdır. Tanım kümesi $(-\infty, \infty)$'dir.
Bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için birinci türevini alıp sıfırdan küçük olduğu yerleri incelememiz gerekir. $f(x) = \ln(u(x))$ şeklindeki bir fonksiyonun türevi $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$ formülüyle bulunur.
Burada $u(x) = x^2 - 4x + 5$.
$u'(x)$'i bulalım: $u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 5) = 2x - 4$.
Şimdi $f'(x)$'i yazalım: $f'(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5}$.
Fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için $f'(x) < 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
$\frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5} < 0$.
Adım 1'de bulduğumuz gibi, paydadaki $x^2 - 4x + 5$ ifadesi her zaman pozitiftir. Bu durumda, kesrin negatif olması için pay kısmının negatif olması gerekir.
$2x - 4 < 0$
$2x < 4$
$x < 2$
Bulduğumuz $x < 2$ eşitsizliği, fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığı gösterir. Bu aralık, matematiksel olarak $(-\infty, 2)$ şeklinde ifade edilir.
Cevap A seçeneğidir.
