Soru:
\( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir fonksiyonun artan/azalanlık durumunu incelemek için türevini alıp işaretini inceleriz.
- ➡️ İlk adım, fonksiyonun birinci türevini almaktır: \( f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \).
- ➡️ İkinci adım, türevi sıfıra eşitleyip kritik noktaları bulmaktır: \( 3x^2 - 6x - 9 = 0 \). Denklemi 3'e bölersek \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) olur. Buradan \( (x-3)(x+1) = 0 \), yani \( x = -1 \) ve \( x = 3 \) kritik noktalardır.
- ➡️ Üçüncü adım, bu noktaların oluşturduğu aralıklarda türevin işaretini incelemektir. Sayı doğrusunu \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 3) \) ve \( (3, \infty) \) şeklinde bölelim ve test noktaları alalım.
- \( x = -2 \) için \( f'(-2) = 3(4) -6(-2) -9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \) ➡️ Artan
- \( x = 0 \) için \( f'(0) = -9 < 0 \) ➡️ Azalan
- \( x = 4 \) için \( f'(4) = 3(16) -6(4) -9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \) ➡️ Artan
✅ Sonuç olarak, fonksiyon \( (-\infty, -1) \) ve \( (3, \infty) \) aralıklarında artan, \( (-1, 3) \) aralığında ise azalandır.
