Soru:
\( h(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları inceleyiniz.
Çözüm:
💡 Bir rasyonel fonksiyonun artan/azalanlığını bulmak için bölümün türevini kullanırız.
- ➡️ İlk adım: \( h(x) \) fonksiyonunun türevini bölüm kuralı ile alalım.
\( h'(x) = \frac{(1)(x^2+1) - (x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} \)
- ➡️ İkinci adım: Türevin işaretini belirleyelim. Paydayı \((x^2+1)^2\) her zaman pozitiftir, bu yüzden işareti sadece pay \( (1 - x^2) \) belirler. \( 1 - x^2 = 0 \) → \( x = -1 \) ve \( x = 1 \).
- ➡️ Üçüncü adım: İşaret tablosu yapalım:
- \( x < -1 \) için (x = -2): \( 1 - (4) = -3 < 0 \) → Azalan
- \( -1 < x < 1 \) için (x = 0): \( 1 - 0 = 1 > 0 \) → Artan
- \( x > 1 \) için (x = 2): \( 1 - 4 = -3 < 0 \) → Azalan
✅ Sonuç: \( h(x) \), \( (-\infty, -1) \) ve \( (1, \infty) \) aralıklarında azalan, \( (-1, 1) \) aralığında artandır.
