Soru:
\( g(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyiniz.
Çözüm:
💡 Bu bir rasyonel fonksiyondur. Öncelikle türev alarak kritik noktaları bulacağız.
- ➡️ Fonksiyonu sadeleştirerek türev almak daha kolaydır: \( g(x) = x + \frac{1}{x} \).
- ➡️ Birinci türevi alalım: \( g'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \).
- ➡️ Türevi sıfıra eşitleyelim: \( 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies \frac{1}{x^2} = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \) ve \( x = -1 \). Ayrıca, fonksiyon \( x = 0 \) noktasında tanımsız olduğu için bu da bir kritik nokta gibi düşünülmelidir.
- ➡️ Sayı doğrusunu \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 0) \), \( (0, 1) \) ve \( (1, \infty) \) aralıklarına ayıralım ve türevin işaretini inceleyelim.
- \( x = -2 \) için \( g'(-2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0 \) ➡️ Artan
- \( x = -0.5 \) için \( g'(-0.5) = 1 - \frac{1}{0.25} = 1 - 4 = -3 < 0 \) ➡️ Azalan
- \( x = 0.5 \) için \( g'(0.5) = 1 - \frac{1}{0.25} = 1 - 4 = -3 < 0 \) ➡️ Azalan
- \( x = 2 \) için \( g'(2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0 \) ➡️ Artan
✅ Sonuç olarak, fonksiyon \( (-\infty, -1) \) ve \( (1, \infty) \) aralıklarında artan, \( (-1, 0) \) ve \( (0, 1) \) aralıklarında ise azalandır.
