Soru:
\( h(x) = \sqrt[3]{x^2} \) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları inceleyiniz.
Çözüm:
💡 Fonksiyonu üstel olarak yazmak işimizi kolaylaştırır: \( h(x) = x^{2/3} \).
- ➡️ Birinci türevi alalım: \( h'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \).
- ➡️ Türevin paydası asla sıfır olmaz mı? Hayır, \( x = 0 \) için payda sıfır olur ve türev tanımsızdır. Bu nedenle \( x = 0 \) bir kritik noktadır. Türevin payı ise sabit (2) olduğundan, türev hiçbir zaman sıfır olmaz.
- ➡️ Sayı doğrusunu \( (-\infty, 0) \) ve \( (0, \infty) \) olarak iki aralığa bölelim.
- \( x = -8 \) için \( h'(-8) = \frac{2}{3\sqrt[3]{-8}} = \frac{2}{3(-2)} = -\frac{1}{3} < 0 \) ➡️ Azalan
- \( x = 8 \) için \( h'(8) = \frac{2}{3\sqrt[3]{8}} = \frac{2}{3(2)} = \frac{1}{3} > 0 \) ➡️ Artan
✅ Sonuç olarak, fonksiyon \( (-\infty, 0) \) aralığında azalan, \( (0, \infty) \) aralığında ise artandır.
