Soru:
\( k(x) = \sqrt{x^2 - 4} \) fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıklarda artan ve azalan olduğu bölgeleri bulunuz.
Çözüm:
💡 Köklü bir fonksiyonun artan/azalanlığını incelemek için önce tanım kümesini belirlemek gerekir.
- ➡️ İlk adım: Tanım kümesi: \( x^2 - 4 \ge 0 \) → \( x \le -2 \) veya \( x \ge 2 \). Yani tanım kümesi \( (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \).
- ➡️ İkinci adım: Türev alalım. \( k(x) = (x^2 - 4)^{1/2} \) → \( k'(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 4)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} \).
- ➡️ Üçüncü adım: Türevin işaretini inceleyelim. Payda her zaman pozitiftir (tanım kümesinde). Bu nedenle işaret sadece paya (x) bağlıdır.
- \( (-\infty, -2) \) aralığında: x negatiftir → \( k'(x) < 0 \) → Fonksiyon azalandır.
- \( (2, \infty) \) aralığında: x pozitiftir → \( k'(x) > 0 \) → Fonksiyon artandır.
✅ Sonuç: \( k(x) \), \( (-\infty, -2) \) aralığında azalan, \( (2, \infty) \) aralığında artandır.
