Soru:
\( k(x) = \ln(x^2 - 4) \) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Çözüm:
💡 Logaritmik bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıklarda inceleme yapmalıyız. \( x^2 - 4 > 0 \) olmalı, yani \( x < -2 \) veya \( x > 2 \).
- ➡️ Zincir kuralı ile türev alalım: \( k'(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 - 4} \).
- ➡️ Türevi sıfıra eşitleyelim: \( \frac{2x}{x^2 - 4} = 0 \). Bir kesrin sıfır olması için pay sıfır olmalıdır: \( 2x = 0 \implies x = 0 \). Ancak \( x = 0 \) noktası fonksiyonun tanım kümesinde değildir. Bu nedenle kritik nokta yoktur.
- ➡️ Türevin işaretini inceleyelim. Paydanın işareti tanım aralığında her zaman pozitiftir (\( x^2 - 4 > 0 \)). O halde türevin işareti sadece paya (\( 2x \)) bağlıdır.
- \( (-\infty, -2) \) aralığında \( x \) negatiftir, dolayısıyla \( k'(x) < 0 \) ➡️ Azalan
- \( (2, \infty) \) aralığında \( x \) pozitiftir, dolayısıyla \( k'(x) > 0 \) ➡️ Artan
✅ Sonuç olarak, fonksiyon \( (-\infty, -2) \) aralığında azalan, \( (2, \infty) \) aralığında ise artandır.
