Soru:
\( g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyiniz.
Çözüm:
💡 Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonunun artan/azalanlık durumunu bulalım.
- ➡️ İlk adım: Türev alalım. \( g'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \)
- ➡️ İkinci adım: Türevi sıfıra eşitleyip kritik noktaları bulalım. \( 3x^2 - 6x - 9 = 0 \). Her terimi 3'e bölelim: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \). Bu denklem çarpanlara ayrılır: \( (x - 3)(x + 1) = 0 \). Dolayısıyla kritik noktalar: \( x = -1 \) ve \( x = 3 \).
- ➡️ Üçüncü adım: Bu noktaları sayı doğrusunda işaretleyip türevin işaret tablosunu yapalım:
- \( x < -1 \) için (x = -2): \( g'(-2) = 3(4) -6(-2) -9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \) → Artan
- \( -1 < x < 3 \) için (x = 0): \( g'(0) = -9 < 0 \) → Azalan
- \( x > 3 \) için (x = 4): \( g'(4) = 3(16) -6(4) -9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \) → Artan
✅ Sonuç: \( g(x) \), \( (-\infty, -1) \) ve \( (3, \infty) \) aralıklarında artan, \( (-1, 3) \) aralığında azalandır.
