10. Sınıf Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetri Özellikleri Test 2

f(x) = x³ - 3x fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Çift fonksiyondur
B) Tek fonksiyondur
C) Ne tek ne çift fonksiyondur
D) Hem tek hem çift fonksiyondur

Merhaba sevgili öğrenciler! Fonksiyonların önemli özelliklerinden biri olan tek ve çift fonksiyon kavramlarını hatırlayarak, verilen $f(x) = x^3 - 3x$ fonksiyonunu birlikte inceleyelim.

• Adım 1: Çift Fonksiyon Tanımı

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun çift fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir. Çift fonksiyonların grafikleri y-eksenine göre simetriktir.

• Adım 2: Tek Fonksiyon Tanımı

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun tek fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

• Adım 3: Verilen Fonksiyonu İnceleyelim

  Fonksiyonumuz $f(x) = x^3 - 3x$. Şimdi bu fonksiyon için $f(-x)$ ifadesini bulalım. Bunun için fonksiyondaki her $x$ yerine $-x$ yazmalıyız:

  $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)$

  Üslü ifadeleri ve işaretleri düzenleyelim:

  $f(-x) = -x^3 + 3x$

• Adım 4: $f(-x)$ İfadesini $f(x)$ ve $-f(x)$ ile Karşılaştıralım

  Bulduğumuz $f(-x) = -x^3 + 3x$ ifadesini, orijinal $f(x)$ ve $-f(x)$ ifadeleriyle karşılaştıralım:

  • $f(-x)$ ile $f(x)$ karşılaştırması:

    $f(-x) = -x^3 + 3x$

    $f(x) = x^3 - 3x$

    Görüyoruz ki $f(-x)$ ile $f(x)$ birbirine eşit değildir ($f(-x) \neq f(x)$). Bu durumda fonksiyon çift değildir.

  • $f(-x)$ ile $-f(x)$ karşılaştırması:

    Önce $-f(x)$ ifadesini bulalım: $-f(x) = -(x^3 - 3x) = -x^3 + 3x$.

    Şimdi $f(-x)$ ile $-f(x)$'i karşılaştıralım:

    $f(-x) = -x^3 + 3x$

    $-f(x) = -x^3 + 3x$

    Görüyoruz ki $f(-x)$ ile $-f(x)$ birbirine eşittir ($f(-x) = -f(x)$).

• Adım 5: Sonuç

  $f(-x) = -f(x)$ eşitliği sağlandığı için, verilen $f(x) = x^3 - 3x$ fonksiyonu bir tek fonksiyondur.

Cevap B seçeneğidir.