10. Sınıf Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetri Özellikleri Test 2

f(x) = |x| + x² fonksiyonu ile ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Tek fonksiyondur
B) Çift fonksiyondur
C) Periyodik fonksiyondur
D) Birebir fonksiyondur

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle $f(x) = |x| + x^2$ fonksiyonunun özelliklerini inceleyeceğiz. Bir fonksiyonun tek mi, çift mi, periyodik mi yoksa birebir mi olduğunu anlamak için belirli tanımları ve adımları takip etmemiz gerekiyor. Haydi başlayalım!

• Adım 1: Çift Fonksiyon Tanımını Hatırlayalım

  Bir $f(x)$ fonksiyonu, eğer tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlıyorsa çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların grafikleri $y$-eksenine göre simetriktir.

• Adım 2: Tek Fonksiyon Tanımını Hatırlayalım

  Bir $f(x)$ fonksiyonu, eğer tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlıyorsa tek fonksiyondur. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

• Adım 3: Fonksiyonumuz İçin $f(-x)$ Değerini Hesaplayalım

  Verilen fonksiyonumuz $f(x) = |x| + x^2$. Şimdi $x$ yerine $-x$ yazarak $f(-x)$'i bulalım:

  $f(-x) = |-x| + (-x)^2$

• Adım 4: Mutlak Değer ve Kare Özelliklerini Uygulayalım

  Mutlak değerin tanımına göre, bir sayının mutlak değeri ile o sayının negatifinin mutlak değeri birbirine eşittir. Yani, $|-x| = |x|$'tir. (Örneğin, $|-3| = 3$ ve $|3| = 3$).

  Aynı şekilde, bir sayının karesi ile o sayının negatifinin karesi de birbirine eşittir. Yani, $(-x)^2 = x^2$'dir. (Örneğin, $(-3)^2 = 9$ ve $3^2 = 9$).

  Bu özellikleri $f(-x)$ ifadesinde yerine yazarsak:

  $f(-x) = |x| + x^2$

• Adım 5: $f(-x)$ ile $f(x)$'i Karşılaştıralım

  Hesapladığımız $f(-x)$ ifadesinin, başlangıçtaki $f(x)$ fonksiyonunun aynısı olduğunu görüyoruz:

  $f(-x) = |x| + x^2$

  $f(x) = |x| + x^2$

  Yani, $f(-x) = f(x)$ eşitliği sağlanmaktadır.

• Adım 6: Fonksiyonun Türünü Belirleyelim

  $f(-x) = f(x)$ eşitliği sağlandığı için, $f(x) = |x| + x^2$ fonksiyonu çift fonksiyondur.

• Adım 7: Diğer Seçenekleri Kısaca Değerlendirelim (Ek Bilgi)

  Fonksiyonun çift olduğunu bulduğumuza göre, diğer seçeneklerin neden doğru olmadığını da hızlıca gözden geçirelim:

  Tek Fonksiyon mu? Hayır, çünkü $f(-x) = f(x)$ bulduk, $-f(x)$ değil. Örneğin, $f(1) = |1| + 1^2 = 2$ iken $-f(1) = -2$'dir. Ama $f(-1) = |-1| + (-1)^2 = 2$'dir. Görüldüğü gibi $f(-1) \neq -f(1)$'dir.

  Periyodik Fonksiyon mu? Hayır, $|x|$ ve $x^2$ fonksiyonları periyodik değildir. Bu iki fonksiyonun toplamı da periyodik değildir. Periyodik fonksiyonlar belirli aralıklarla kendini tekrar eden fonksiyonlardır, bu fonksiyonun grafiği sürekli artan/azalan bir yapıya sahip olduğu için böyle bir özellik göstermez.

  Birebir Fonksiyon mu? Hayır, bir fonksiyonun birebir olması için her farklı $x$ değeri için farklı $f(x)$ değeri üretmesi gerekir. Ancak biz $f(1) = 2$ ve $f(-1) = 2$ olduğunu gördük. Yani farklı $x$ değerleri ($1$ ve $-1$) aynı $f(x)$ değerini ($2$) vermektedir. Bu yüzden birebir değildir.

Bu adımları takip ederek fonksiyonumuzun çift fonksiyon olduğunu kesin olarak belirledik.

Cevap B seçeneğidir.