Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematikten, %70'i fizikten başarılıdır. Her iki dersten başarısız olan öğrenci olmadığına göre, her iki dersten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi kaçtır?
A) %10
B) %20
C) %30
D) %40
Bu problem, kümeler konusunu ve yüzde hesaplamalarını bir araya getiren güzel bir soru. Adım adım ilerleyerek kolayca çözebiliriz.
1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım
- Sınıftaki tüm öğrencilerin yüzdesi $100\%$ olarak kabul edilir.
- Matematikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi: $60\%$.
- Fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi: $70\%$.
- Önemli Bilgi: Her iki dersten başarısız olan öğrenci yoktur. Bu ifade, sınıftaki tüm öğrencilerin en az bir dersten (matematik veya fizik veya her ikisi) başarılı olduğu anlamına gelir. Yani, matematikten veya fizikten başarılı olan öğrencilerin toplam yüzdesi $100\%$ demektir. Kümeler dilinde ifade edersek, Matematik kümesini $M$, Fizik kümesini $F$ ile gösterirsek, $|M \cup F| = 100\%$ olur.
2. Adım: Kümeler Formülünü Uygulayalım
- İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulmak için kullandığımız temel formül şöyledir:
- $|M \cup F| = |M| + |F| - |M \cap F|$
- Bu formülde:
- $|M \cup F|$: Matematik veya fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi (en az birinden başarılı olanlar).
- $|M|$: Matematikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi.
- $|F|$: Fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi.
- $|M \cap F|$: Hem matematikten hem de fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi (bizim aradığımız değer).
3. Adım: Değerleri Formülde Yerine Koyalım ve Hesaplayalım
- Yukarıdaki formülde bildiğimiz değerleri yerine yazalım:
- $100\% = 60\% + 70\% - |M \cap F|$
- Şimdi denklemi adım adım çözelim. Önce sağ taraftaki toplama işlemini yapalım:
- $100\% = 130\% - |M \cap F|$
- Şimdi $|M \cap F|$ değerini bulmak için denklemi yeniden düzenleyelim. $|M \cap F|$ ifadesini sol tarafa, $100\%$ ifadesini sağ tarafa atalım:
- $|M \cap F| = 130\% - 100\%$
- Sonuç olarak, hem matematikten hem de fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi:
- $|M \cap F| = 30\%$
Bu sonuç, hem matematikten hem de fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesinin $30\%$ olduğunu gösterir.
Cevap C seçeneğidir.
